Teorema de Pitágoras

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El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

Este teorema fue propuesto por Pitágoras de Samos (582 adC - 496 adC), un filósofo y matemático griego.

[editar] Demostraciones

Loomis ^[1] catalogó 370 demostraciones del teorema de Pitágoras, clasificándolas en algebraicas –se relacionan lados y segmentos-, geométricas –comparación de áreas-, dinámicas –fuerza, masa-, y cuaterniónicas-vectores-. Es el teorema demostrado de más modos diversos. En la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

[editar] China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 adC. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 adC. .

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se descompone en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Veamos:

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b.

Si añadimos tres iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar una posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a + b.

El área de este cuadrado puede expresarse de dos maneras:

El cuadrado del lado:

$A = (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2$

Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:

$A = c^2 + 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$

Igualando ambas expresiones:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$

y simplificando:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

[editar] Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se cree que Pitágoras demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[2]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres ángulos iguales: todos tienen un ángulo recto, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC

$\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}$

$b^2\ =\ b'c$

De la semejanza entre ABC y BHC

$\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}$

$a^2\ =\ a'c$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto.

Sumando:

$a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )$

pero $\left (a'+b'\right )=\ c$ , por lo que finalmente resulta

$a^2\ +\ b^2 =c^2$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que

$\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos.

Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

$S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )$

$S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )$

obtenemos después de simplificar que

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}$

pero siendo $\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r$ la razón de semejanza, está claro que

$\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2$

es decir, la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que

$\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da

$\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que

$\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2$

$\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

pero según (I) $\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }$ , así que

$\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}$

y por lo tanto

$b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales, de lado (a+b):

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris ( $c 2$ ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul ( $b 2 + a 2$ ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

[editar] Demostración de Platón: el Menon

En uno de los meandros del Menon se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras –derecha-, si bien referida exclusivamente a los triángulos rectángulos isósceles.

Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio? Esta filosófica pregunta es el comienzo del Menon de Platón, y a su tenor no parece que la Geometría vaya a hacer acto de presencia en el Diálogo, pero el filósofo es quién maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies.

La cuestión es la búsqueda del conocimiento de la verdad mediante lo que Platón llama reminiscencias. Sin entrar en consideraciones filosóficas, digamos simplemente que para Platón aprender es recordar, y para demostrarlo le plantea a un esclavo ignorante de la geometría el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino recordar lo que ya sabía.

Platón construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su diagonal AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero ^[3]. Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul ( $8 u 2$ ) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises ( $4 u 2$ cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos contiene dos veces el triángulo ABC, mientras que el cuadrado de la hipotenusa contiene cuatro de dichos triángulos.

Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los triángulos rectángulos isósceles.

[editar] Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

La proposición I.41 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41 de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio ^[4]. De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.41 de Los Elementos:

Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es doble de la del triángulo. Esto es tanto como decir que a igual base y altura, el área de aquél dobla a la de éste.

Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, y construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.

Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BC, y BG=BI, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci nos encontraremos de nuevo con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Veamos seguidamente que:

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41 AHJK tiene doble área que ACK.
Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes.

Haciendo razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que éstos últimos tienen áreas asimismo iguales.

A partir de aquí es inmediato que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

[editar] Demostración de Pappus

La proposición I.36 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus^[5] parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en Elementos I.36:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

[editar] Demostración de Bhaskara

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que $c 2 = a 2 + b 2$

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

$c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2$

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado $c 2 = a 2 + b 2$ , y el teorema queda demostrado.

[editar] Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Su demostración es una de las más hermosas.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

[editar] Demostración de Garfield

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente ^[6] de los Estados Unidos, desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

$S_{trapecio}=\frac {a+b}{2} \cdot (a+b)$

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

$S=2 \cdot \frac {ab}{2} + \frac {c^2}{2}$

igualando:

$\frac {a+b}{2} \cdot (a+b) = (ab) + \frac {c^2}{2}$

lo que finalmente nos da $c 2 = a 2 + b 2$ , y el teorema está demostrado.

[editar] Aplicaciones populares del teorema

En construcción se usa una relación de medidas para trazar ángulos rectos en el suelo derivada del Teorema de Pitágoras. La llaman "el tres-cuatro-cinco": porque 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 5

[editar] Corolario del Teorema de Pitágoras

Números impares

Sea un número x impar, entonces los números correspondientes al trío pitagórico asociados a este número son:

$a = x\!$
$b = \frac{x^2-1}{2}$
$c = \frac{x^2+1}{2}$

La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:

$x^2+ \left( \frac{x^2-1}{2} \right)^2=\left( \frac{x^2+1}{2} \right)^2$

Números pares

Sea un número y par, entonces los número correspondientes al trío pitagórico asociados a este número son:

$a = y\!$
$b = \left( \frac{y}{2} \right)^2-1$
$c = \left( \frac{y}{2} \right)^2+1$

La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:

$y^2+\left( \left( \frac{y}{2}\right)^2-1 \right)^2=\left( \left( \frac{y}{2} \right)^2+1 \right)^2$

[editar] El Teorema de Pitágoras en el espacio

El Teorema de Pitágoras se puede aplicar también en un espacio tridimensional.

$D^2 = a^2 + b^2 + c^2 \,$

En efecto, para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:

$d = \sqrt {a^2 + c^2} \,$

Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora utilizamos el Teorema de Pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.

$D^2 = {\sqrt {a^2 + c^2}}^2 + b^2 \,$

El exponente 2 elimina la raíz cuadrada, quedando:

$D^2 = a^2 + b^2 + c^2 \,$

[editar] Notas

↑ E. S. Loomis, profesor de matemáticas de la Universidad de Baldwin, en los Estados Unidos
↑ Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema
↑ En primer lugar se ha cuadruplicado el área del cuadrado inicial, que aumentó de cuatro a dieciséis unidades cuadradas, para después obtener el resultado buscado
↑ Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto, pero según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico Hipaso de Metaponte lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.
↑ Pappus nació en Alejandría -Pappus de Alejandría- sobre el año 290 de nuestra era, y murió alrededor del 350. Es el último de los grandes geómetras griegos.
↑ James A. Garfield murió el 19 de Septiembre de 1881, a consecuencia de un atentado sufrido el 2 de Julio del mismo año. Fue el segundo Presidente asesinado, después de Abraham Lincoln. Su demostración del teorema de Pitágoras es de 1876, cuando era miembro de la Cámara de Representantes.

[editar] Referencias bibliográficas

PLATÓN: Diálogos. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Ediciones Ibéricas. Madrid, 1958
PAUL STRATHERN: Pitágoras y su teorema. Siglo XXI de España Editores. Madrid, 1999
LOOMIS E. S.: The Pythagorean Proposition. NCTM. Michigan, 1940
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.: Pitágoras. El filósofo del número. Nivola. Madrid, 2001

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

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