Teoremo di Pitagoro

From Wikipedia

Teoremo di Pitagoro esas geometrio-teorio ke enuncas relacio inter la lateri di rektangulo triangulo en plata plano, to signifikas triangulo ke proprietas un rekta angulo.

To rezulto esas ja konocita di Babiloni sub sua numerala formo, mil yari ante Pitagoro. Euklid facis la prima departenda demonstro, to ke on truvas en sua prima libro:

Ta rektangulo trianguli, la quadrato di latero ke sustenas la rekta angulo, esas egala di quadrati di du altra lateri.

Ni povas formuligas ta enunco plu abstraktate, tale:

Kad c esas la longeso di hipotenuzo di rektangulo triangulo e la longesi di du altra lateri esas a e b, lore

c 2 = a 2 + b 2

[redaktar] Variesi e generalesi

Euklid anke demonstras, en la proposeso XLVIII di libro I, la reciproko du teoremo di Pitagoro :

Kad la quadrato dil un di lateri di triangulo, esas egala di quadrati di du altra lateri ; l'angulo sustenita di to lateri esas rekta.

Ni povas konkluzar di teorio e sua reciproko ta generaleso :

Kad triangulo havas di lateri di longeso a, b e c, ta triangulo es rektangulo se e sole se la quadrato di hipotenuzo esas egala a quadrati di du altra lateri

En facinta eventar la koncepto di vektoro, on povas riformular la teorio kom sive :

esinta donita du vectori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , $\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert^2 = \Vert\vec{u}\Vert^2 + \Vert\vec{v}\Vert^2$ se e sole se $\vec u$ e $\vec v$ esas ortogonala.

Di generala maniero, on havas simple la triangula inegalita :

$||\vec{u} + \vec{v}||^2 \le ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||$

ke on skribas generale

$||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||.$

[redaktar] Demonstro

Ta esas sen dubito la teorio ke posedas la plu granda nombro di konocita pruvas (la lego di quadratesa reciprokita ecelas anke en ta domeno). En yen du :

[redaktar] La pruvo segun Euklid

Ante di facas la demonstro, ol devas pruvar du proposesi. La prima question-esas dil equivalante di du paralelogrami di mem bazo e di mem alto :

La paralelogrami konstitucita pri mem bazo, e inter mem paraleli, es egala inter li.

Konsideras li du paralelogrami ABCD e BCFE, la du pri la mem bazo, BC, e inter la mem paraleli, BC et AF. Observez ke AD esas egala a BC (nam to esas la du bazi di paralelogramo ABCD), e BC esas egala a EF (nam to es la bazi di paralegramo BCFE), lore AD esas egala a EF.

Or, ol havas sole tri posibliti per la poziciono di punto E relata a D ; E forsan ala sinistra de D, a punto D, od ala dextre di D. Examinas omna kazo:

Se E falas ala sinistra di D, ED esas la comuna parto di AD e EF, lore ol esas posibla di verifikar ke AD e EF esas egala. Ma notez ke la lateri AB e DC esas egala, nam ol es di opoza lateri di paralelogramo ABCD. Anke, perke li punti A, E, D e F esas coline-ala, la anguli BAE e CDF esas egala. Konseque, la trianguli BAE e CDF esas egala, perke du lateri di la un esas egala a du lateri di l'altra, e angulo esas komuna. Do la paralelogrami ABCD e CDFE ne es ke di altra ordini di trapezo BEDC e la triangulo BAE (o CDF).
Se E falas a punto D, on truvas di simila fasono a 1 ke la trianguli BAE e CDF es egala, e lore ke ol es posibla di obtenar ke la paralelogrami ABCD e BCFE en ad-juntanta ala komuna parto BCD la triangulo BAE (o bono CDF).
Se E falas ala dextra di D, notez ke, perke la linei AD e EF esas egala, en ad-juntanta a omna la lineo DE, ni truvas ke AE e DF esas egala. Per simila argumento a to uzita en la kazo 1 e 2, ol esas posibla di pruvar ke la trianguli BAE e CDF, e konseque la trapezi BADG e CGEF, esas egala. Lore, ol esas evidenta ke la paralelogrami ABCD e CDFE esas obtenita en ad-juntanta a komuna triangulo BCG la trapezo BADG (o CGEF).

La remplase di paralelogramo per altro di mem bazo e mem alto, justifikita per ta proposeso, konocas su en la matematiko kom la cizago. La cizago esos tre import-anta en la pruva dil la sequanta propozeso :