Komplex számok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A komplex számok halmaza a valós számkör olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok körével ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke). A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a XVII. századi algebrai problémák vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.

A komplex számok tanításával kapcsolatos kérdéseket a komplex számok a matematikatanításban szócikkben tárgyaljuk.

Tartalomjegyzék

1 A komplex számok megalkotása
2 Számolás a komplex számok körében
3 Gyökvonás komplex számokból
- 3.1 A gyökvonásról általában
4 Rendezés
5 A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései
6 Lásd még
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A komplex számok megalkotása

A komplex számok halmazát, melyet a

$\mathbb{C}$

szimbólummal jelölünk, és benne azt az elemet, melynek négyzete -1, tehát az imaginárius (képzetes) egységet, melyet

$i\,$

-vel jelölünk többféleképpen is megkaphatjuk. A három legfontosabb alkalmas modell a következő:


Halmazelméleti modell	Geometriai modell	Algebrai modell
$\mbox{ }_\mathbb{C}$ :={ (x,y) \| x ∈ $\mbox{ }_\mathbb{R}$ & y ∈ $\mbox{ }_\mathbb{R}$ }, azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az $\mbox{ }_\mathbb{R}$ × $\mbox{ }_\mathbb{R}$ Descartes-szorzat.	$\mbox{ }_\mathbb{C}$ := { $\mbox{ }_{r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}}$ \| r ≥ 0 & $\mbox{ }_{\varphi}$ ∈ $\mbox{ }_\mathbb{R}$ }, ahol az r $\cdot$ F_φ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)	$\mbox{ }_\mathbb{C}$ := $\mbox{ }_\mathbb{R}$ [x] / (x²+1), azaz a valós együtthatójú polinomok x²+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az $\mbox{ }_{\mathbb{R}[x]}$ polinomgyűrű (x²+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás:	Szorzás:	Szorzás:
$\mbox{ }_{(a,b)\cdot(c,d) = ( ac - bd , bc + ad )} \,$	Itt $\cdot$ a függvénykompozíció ( $\circ$ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja	a polinomok szorzása
Összeadás:	Összeadás:	Összeadás:
$\mbox{ }_{ ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )} \,$	a képpontba mutató vektorok összege	a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:
1 := (1,0)	1 := F_0° = id (a nulla fokos forgatás)	1 := az azonosan 1 polinom
Az x² = -1 egyenlet megoldása:	Az x² = -1 egyenlet megoldása:	Az x² = -1 egyenlet megoldása:
(0,1) $\cdot$ (0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1	F_+90° $\circ$ F_+90° = F_180° = - id = - 1	x $\cdot$ x = x² = (x²+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós szám test feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

[szerkesztés] Halmazelméleti modell

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$

formulával definiáljuk, a szorzást, a kissé légbőlkapott:

$( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,$

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, $\cdot$ ) matematikai struktúra valóban testet alkot éspedig a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a

1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

-(a,b) := (-a,-b) és a

mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

$\frac{1}{(a, b)}= \left( \frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \right).$

A valós számtestet az

R $\rightarrow$ R×R, x $\mapsto$ (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és immaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)² = (0,1) $\cdot$ (0,1) = (0 $\cdot$ 0 - 1 $\cdot$ 1,1 $\cdot$ 0 + 0 $\cdot$ 1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

[szerkesztés] Geometriai modell

A közös kezdőpontű, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordinátarendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó $\mbox{ }_{r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}}$ leképezés mátrixa:

$[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}]=r\cdot \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \;\; \cos\varphi \end{pmatrix}$

vagy az a := r $\cdot$ cos(φ), b := r $\cdot$ sin(φ) választással:

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$ .

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mártixösszadás:

$[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}+s\cdot\mathcal{F}_{\psi}]=[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}]+[s\cdot\mathcal{F}_{\psi}]$

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mártixokkal felírva a mátrixszorzás:

$[(r\cdot\mathcal{F}_{\varphi})\circ (s\cdot\mathcal{F}_{\psi})]=[(r\cdot s)\cdot \mathcal{F}_{\varphi+\psi}]=rs\begin{pmatrix} \cos(\varphi+\psi) & -\sin(\varphi+\psi) \\ \sin(\varphi+\psi) & \;\; \sin(\varphi+\psi) \end{pmatrix}$

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyűjtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x² = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

[szerkesztés] Algebrai modell

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x²+1) főidelálja szerinti R[x] / (x²+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valósegyütthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x²+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

$x^2+1\equiv 0$

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

$x^2\equiv -1$

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az immaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x²+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

$a+bi\,$

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai tötek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

$i^2=-1\,$ .

[szerkesztés] Számolás a komplex számok körében

[szerkesztés] Algebrai alak

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok $\mbox{ }_{\mathbb{C}}$ halmazát, benne megtaláljuk a multplikatív egységelemet, az 1-et és a immaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ $\mbox{ }_{\mathbb{C}}$ komplex szám egyértelműen előáll z = a $\cdot$ 1 + b $\cdot$ i alakban, ahol a és b valós számok. Egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

$z=a \,+ \,b\cdot i$

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

$\mathrm{Re}\, z$

-vel jelöljük, b-t a z szám immaginárius részének:

$\mathrm{Im}\, z$

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, az definíció alapján az immaginárius rész nem immaginárius, hanem valós szám. Tehát:

$z=\mathrm{Re}\, z \,+ \,i\cdot \mathrm{Im}\, z$

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolútértéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

$|z |:= \sqrt{a^2+b^2}\,$ .

[szerkesztés] Geometriai ábrázolás

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram ( Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolútérték (mely az R²-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

[szerkesztés] Trigonometrikus alak

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

$z = r \cdot (\cos\,\varphi + i\!\cdot\!\sin\,\varphi)$

ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

$a=r\,\cos\,\varphi$ és

$b=r\,\sin\,\varphi$ .

A fordított reláció a sugárt ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

Illetve nem nulla a esetén:

$\varphi= \begin{cases} \mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right), & \mbox{ha } b\geq 0 \\ \pi+\mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right), & \mbox{ha } b < 0. \end{cases}$

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z₁ és z₂ komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

$z_1\cdot z_2=r_1r_2(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi))$

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

$z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

$(\cos\,\varphi+i\sin\,\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)$

[szerkesztés] Exponenciális alak

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

$\sin\,z=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}$

$\cos\,z=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}$

$\exp\,z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}$

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

$\exp(iz)=e^{iz}=\cos\,z+i\sin\,z$

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

$e^{i\varphi}=\cos\,\varphi+i\sin\,\varphi$

Van amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

$e^{i\pi}=-1\,$

Tehát minden komplex szám előáll

$z=re^{i\varphi}$

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

$z_1\cdot z_2=r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$

Feltéve, hogy r₂ nem nulla:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$

$z^n=r^n\cdot e^{in\varphi}$

Érdemes a nemnulla komplex számokat tejesen exponenciális alakban írni:

$z=re^{i\varphi}=e^{\varphi_0}e^{i\varphi}=e^{\varphi_0+i\varphi_1}$

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ₀+iφ₁, akkor

$z^w=(e^{\varphi_0+i\varphi_1})^w=(e^{v})^w=e^{v\cdot w}$

[szerkesztés] Gyökvonás komplex számokból

[szerkesztés] A gyökvonásról általában

Mielőtt továbblépnénk jegyezzük meg, hogy az Euler formula segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk $2π$ -t:

$z = R \cdot e^{i \cdot \phi } = R \cdot e^{i \cdot \left( \phi + k \cdot 2\pi \right)}$ ,

ahol $k = 0,1,2,...$ . Ez fontos, mert, amikor $z$ -ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak $\frac{\phi}{n}$ ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

$\frac{\phi}{n}+\frac{k \cdot 2 \pi}{n}$ , ahol

$k = 0,1,2,... n - 1$ . Tehát n különböző n-edik gyök létezik

$\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{ R \cdot \left( e^{i \cdot \phi} \right)} = \sqrt[n]{R} \cdot e^{i \cdot \left( \frac{\phi}{n}+\frac{k \cdot 2 \pi}{n} \right)}$ , ahol

$k = 0,1,2,... n - 1$ .

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen $z$ . Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes $\pm 1$ , vagyis a következő két (komplex) szám $e^0=1 \,$ és $e^{i \cdot \left(0+ \pi \right)}=-1$ .

Példaképp most számoljuk ki a

$z = 1+i = \sqrt{2} \cdot e^{ i \cdot \frac{\pi}{4}}$

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

$\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{16}}$ ,

$\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{9 \cdot \pi}{16}}$ ,

$\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{17 \cdot \pi}{16}}$ és

$\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{25 \cdot\pi}{16}}$ .

Valóban, pl. az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

${\left( \sqrt[8]{2}\cdot e^{i \cdot \frac{25 \cdot\pi}{16}} \right)}^4 = \sqrt{2} e^{i \cdot \frac{25 \cdot 4\cdot\pi}{16}} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \left(\frac{\pi}{4} + 6 \cdot 2\pi \right)} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{4}} = 1 + i$ .

[szerkesztés] Rendezés

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni egy olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a Zorn-lemma alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

[szerkesztés] A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései

Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (testizomorfizmus erejéig) a következők:

a valós számok teste,
a komplex számok teste,
a kvaterniók teste.

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

karakterisztikája 0,
a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
algebrailag zárt.

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmaz alkotnak (ellentétben a valósokkal).

[szerkesztés] Lásd még

Az algebra alaptétele

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../k/o/m/Komplex_sz%C3%A1mok.html"

Kategóriák: Matematika | Algebra