Număr complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Numerele iraţionale au apărut din necesitatea de a descrie soluţii ale ecuaţiilor ca $\ x^2-2 = 0$ .

Numerele complexe descriu soluţii ale ecuaţiilor ca $\ x^2+2 = 0$ .

Mulţimea numerelor complexe reprezinta mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale $\ (a,b)$ , înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai jos:

$\ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)$ ,

$\ (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad)$ .

Mulţimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu $\mathbb{C}$ .

Elementul neutru al operaţiei de adunare este $\ (0,0)$ iar elementul neutru al operaţiei de inmulţire este $\ (1,0)$ .

Deoarece $\ (a,0) + (c,0) = (a + c,0)$ şi $\ (a,0)(c,0) = (ac,0)$ , mulţimea numerelor reale, $\mathbb{R}$ , poate fi privită ca submulţime a lui $\mathbb{C}$ , identificînd numărul real $\ a$ cu $\ (a, 0)$ .

Numărul complex $\ (0,1)$ are proprietatea $\ (0,1)(0,1) = (-1,0)$ , adică $\ (0,1)^2 = (-1,0)$ identificat cu numărul real $\ -1$ .

Nici un număr real nu are această proprietate.

Cuprins

1 Forma algebrică
2 Conjugatul unui număr complex
3 Modulul unui număr complex
4 Puterile lui i
5 Forma trigonometrică
6 Reprezentarea grafică a numerelor complexe
7 Formula lui Euler
8 Legături externe

[modifică] Forma algebrică

Numărul complex $\ (0,1)$ este notat cu $\ i$ şi $\ i^2 = -1$ .

Ţinînd cont de cele de mai sus, un număr complex $\ (a,b)$ poate fi scris $\ (a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a + bi$ .

Forma algebrică a unui număr complex este $\ z = a + bi$ , unde a şi b sunt numere reale.
$\ (0,1)= i$ unitatea imaginară ; $\ (0,0)= 0$ ; $\ (1,0)= 1$ .

Pentru un număr complex $\ z = a + bi$ , $\ a$ se numeşte partea reală a lui $\ z$ şi se notează $\ a = Re (z)$ iar $\ b$ se numeşte partea imaginară a lui $\ z$ şi se notează $\ b = Im (z)$ .

Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c şi b = d.
Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
Exemplu : pentru z = (2,3)= 2 + 3i şi w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i .

[modifică] Conjugatul unui număr complex

Conjugatul complex al numărului complex $\ z = a + bi$ este numărul complex $\bar{z} = a - bi$ .
Proprietăţile conjugatului complex :
- $\bar \bar {z} = z$
- ${\bar {z}}{ \bar w} = \overline {zw}$
- ${\bar {z}} + { \bar w} = \overline {z + w}$
- $\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

[modifică] Modulul unui număr complex

Modulul numărului complex $\ z = a + bi$ este numărul real $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Proprietăţile lui |z|
- $|z| \ge 0$ $\forall z\in \mathbb{C}$
- $|z|= 0 \Leftrightarrow z=0$
- $|z_1 \cdot z_2|=| z_1| \cdot |z_2|$
- $|z_1 + z_2|\le | z_1| + |z_2|$ (ingalitatea triunghiului)
- $|z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n|= | z_1| \cdot |z_2| \cdot ... \cdot |z_n|$
- $|z_1^n|= {| z_1|}^n$
- $|{z_1 \over z_2}|= {{| z_1|} \over {|z_2|}}$
- Are loc identitatea $|z|^2= z\bar{z}$ şi ${1 \over z}={{\bar{z}} \over {|z|^2}}$ , dacă $\ z\ne o$
- $|\pm i| = 1$ .