三角数
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三角数（さんかくすう）(Triangular number)とは、三角形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。1からn番目までの自然数の和に等しい。
10 は一つの辺に四つ並べた時に、該当するので、「三角数」の一つである。
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三角数はピタゴラス（学派）が考え出したものである。
例：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153 ...
n 番目の三角数 N は、式 N = n(n+1)/2 で表すことができる。あらゆる自然数は高々 3 つの三角数の和で表されるという定理があり、ガウスによって1796年（彼の日誌によれば7月10日）に証明された。この定理は全ての自然数が高々 n 個の n 角数の和によって表されるとするフェルマーの多角数定理の中に含まれている。
連続する三角数の和は
となり、平方数となる。
平方数はまた，四角数ともいわれる。四角数（しかくすうとは、正方形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。1からn番目までの奇数の和に等しい。
三角数の2倍の数を矩形数という。矩形数（くけいすうとは、たてと横が1つ違いの長方形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。すなわち，連続する2整数の積である。２からn番目までの偶数の和に等しい。矩形とは長方形のことで，長方形数ということもある。
Ｎ番目の四角数とＮ番目の矩形数の和は２Ｎ番目の3角数である。
n番目の三角数は組み合わせの記号を使って 
と表わすこともできる。
三角数でもあり、平方数でもある数は平方三角数とよばれ、1, 36, 1225 などがある。
n番目の三角数の二乗は1からn番目までの立方数の和に等しい。つまり、
三角数は必ず3で割り切れる数か、もしくは9で割ると1余る数のどちらかである。
[編集] 三角錐数(四面体数)
三角数と同じように、ものを三角錐（四面体）状に配置したとき、その総数を三角錐数（四面体数）という。第 n 三角錐数（四面体数）は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値 N は N = n(n+1)(n+2)/6 と書くことが出来る。また、同様に三角錐数（四面体数）の総和として、4 次元空間での三角数、五胞体数を定義することが出来る。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目のその数 Tr(n) は、
と書くことが出来る。
三角錐数（四面体数）の始めのいくつかを挙げると、
となる。
パスカルの三角形における数列は，
モナド(単数)の数列 例： １，１，１，１，１,１，１，１，１，・・・・・
自然数の数列 例：１，２，３，４，５，６，７，８，９,・・・・・・
三角数の数列 例：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153 ...
三角錐数の数列 例：1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969，・・・・・・
・・・・・・
のようになっている。 すなわち,後の数列は前の数列のの累加になっている。 裏返して言うと，前の数列はあとの数列の階差数列になっている。
