Transformada de Fourier

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En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

$g(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx$

Para que esta definición tenga sentido, algunas condiciones técnicas tienen que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores y aún a espacios de funciones generalizadas.

La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. Hé aquí algunas de ellas: $\mathcal{F}[f], \hat f, F(f)$ .

Tabla de contenidos

1 Definición formal
2 Propiedades básicas
3 Teorema de inversión
4 La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz
5 Uso en ingeniería
6 Véase también

[editar] Definición formal

Sea f una función compleja definida en la recta e integrable con respecto a la medida de Lebesgue, en símbolos,

$f \in L^1(\mathbb{R}).$

La transformada de Fourier de f es la función

$\hat{f}(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx$

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

$\check{f}(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{i\xi\,x} dx$

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.

[editar] Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

$\mathcal{F}[a\cdot f+b \cdot g]=a\mathcal{F}[f]+b\mathcal{F}[g].$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

Cambio de escala:

$\mathcal{F} [t \mapsto f(at)](\omega) = \frac{1}{|a|} \mathcal{F}[f]\bigg(\frac{\omega}{a}\bigg)$

Traslación:

$\mathcal{F}[t \mapsto f(t-a)](\omega)=e^{-i\omega a} \mathcal{F}[f](\omega)$

Traslación en la variable transformada:

$[\mathcal{F}(f)](\omega-a)= \mathcal{F}[t \mapsto e^{iat} f(t)](\omega)$

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

$\mathcal F [f'](\omega) = i\omega \hat f(\omega)$

Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la trnasformada de Fourier F(f) es diferenciable

$\mathcal{F}(f)' (\omega) = \mathcal{F} [t \mapsto (-it)f(t)](\omega)$

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente:

$[f \star g](y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) g(x - y) dy.$

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados come el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable y vale la igualdad:

$\mathcal{F}[f*g] = \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]$

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

$\mathcal{F}[f \cdot g] =\mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g].$

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

[editar] Teorema de inversión

La idea del teorema de inversión es que dado una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:

$(1) \quad \check{\hat{f}} = f \quad$

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:

Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función f en este espacio, vale el teorema de inversión (1).

Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

[editar] La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en R e infinitamente diferenciables tales que para todo m, n enteros no negativos

$\sup_{x \in \mathbb{R}} |x^m \varphi^{(n)}(x)| < \infty,$

donde φ⁽ⁿ⁾ es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo $\mathcal{S}$ .

Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

$\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{S}.$

Además vale la fórmula de inversión:

$\check{\hat{f}} = f, \quad f \in \mathcal{S}.$

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales co coeficientes polinomiales, es decir de la forma

$[T\varphi](x) = \sum_{k=0}^m P_k(x) \bigg(\frac{d}{dx}\bigg)^n \varphi(x).$

donde P_k son polinomios.

Debido a las propiedades

$\mathcal{F}[x \mapsto \frac{d \varphi}{dx}](\xi) = i\xi \mathcal{F}[\varphi](\xi) \quad$

$\mathcal{F}[x \mapsto x \varphi(x)](\xi) = i \frac{d}{d\xi}\mathcal{F}\varphi(\xi),$

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.