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Teorema di Fubini - Wikipedia

Teorema di Fubini

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, il teorema di Fubini, chiamato in onore del matematico italiano Guido Fubini, afferma che se


\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,


l'integrale, rispetto al prodotto di due intervalli nello spazio A\times B, può essere scritto come:


\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y),


i primi due integrali sono integrali semplici, mentre il terzo è un integrale sul prodotto di due intervalli.

Inoltre se:

f(x,y) = f(x)g(y),

allora

\int_A f(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} f(x)g(y)\,d(x,y)


quindi l'integrale doppio è riconducibile al prodotto di due integrali semplici.

Se il valore assoluto dell'integrale doppio non è limitato, allora i due integrali semplici possono avere valori differenti.

[modifica] Applicazioni

Una delle tante applicazioni del teorema di Fubini è la valutazione dell'integrale di Gauss, che è alla base della teoria della probabilità:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Per vedere come il teorema di Fubini è usato per dimostrare ciò, vedere integrale di Gauss.

Può essere usato per definire l'area di un rettangolo A\times B, considerando la funzione unitaria:

\mu(A\times B)=\int_{A\times B}\,d(x,y) = \int_A \, dx \int_B \, dy = \mu(A) \mu(B)
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