Fourier–vörpun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fourier–vörpunin, nefnd eftir Jean Baptiste Joseph Fourier, er stærðfræðileg vörpun sem varpar falli yfir í fallagrunn sem samanstendur af sínuslaga grunnföllum, þ.e.a.s. lýsir fallinu sem línulegri samantekt sínuslaga falla.

Efnisyfirlit

1 Notagildi Fourier-vörpunar
2 Afbrigði Fourier-vörpunar
- 2.1 Samfelld Fourier-vörpun
- 2.2 Fourier-raðir

[breyta] Notagildi Fourier-vörpunar

Fourier-vörpunin hefur margvíslegt notagildi í vísindum s.s. í eðlisfræði, talnafræði, talningafræði, merkjafræði, líkindafræði, tölfræði, dulkóðun, hljóðtækni, sjómælingum, ljósfræði, rúmfræði og á fleiri sviðum. (Í merkjavinnslu og skyldum greinum er hugsunarhátturinn sá að Fourier-vörpunin skipti falli upp í hina mismunandi tíðniþætti sína og skili útslagi og fasa fyrir hvern tíðniþátt.) Þetta fjölbreytta notagildi helgast af nokkrum gagnlegum eiginleikum vörpunarinnar:

Vörpunin er línuleg og, með viðeigandi skölun, einoka. (Seinni eiginleikinn er þekktur sem setning Parsevals.)

Vörpunin er gagntæk, og reyndar hafa andhverfa vörpunin og vörpunin sjálf mjög áþekkt form.

Sínuslaga grunnföllin eru eiginföll deildunar. Þess vegna færir Fourier-vörpun línulegar deildajöfnur með fastastuðla yfir á form algebrískra jafna.

Samkvæmt földunarsetningunni, jafngildir margföldun í Fourier-grunninum földun í upprunalega grunninum. Þetta er óspart notað til að flýta fyrir reikningum sem byggja á földun, s.s. stafrænum síunaraðgerðum og fleiru.

Til er afbrigði Fourier-vörpunar til notkunar á stakræn föll af endanlegri lengd. Þá er talað um endanlega stakræna Fourier-vörpun (Discrete Fourier Transform, DFT, á ensku). Hana er hægt að framkvæma sérstaklega hratt með notkun algríma sem kallast hraðar Fourier-varpanir (Fast Fourier Transform, FFT).

[breyta] Afbrigði Fourier-vörpunar

[breyta] Samfelld Fourier-vörpun

Sérhvert fall f(t) með endanlega orku má tákna sem summu tvinnveldisfalla með horntíðnir ω og tvinngilt útslag F(ω):

$f(t) = \mathfrak{F}^{-1}(F)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

Þetta er reyndar andhverfa samfellda Fourier-vörpunin, en sjálf Fourier-vörpunin táknar F(ω) út frá f(t). Upprunalega fallið og vörpun þess kallast Fourier-par. Sjá Samfelld Fourier-vörpun (á ensku) með frekari upplýsingum, þ.m.t. töflu yfir mikilvæg Fourier-pör, upplýsingum um eiginleika vörpunarinnar og fleira.

[breyta] Fourier-raðir

Samfellda Fourier-vörpunin er í raun alhæfing eldri hugmyndar, Fourier-raðarinnar, sem er eingöngu skilgreind fyrir lotubundin (eða endanleg í tíma) föll f(x) (með lotu 2π), og setur slík föll fram sem summu raðar sínuslaga falla:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$