Преобразование Фурье

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

Содержание

1 Применения преобразования Фурье
2 Разновидности преобразования Фурье
3 Интерпретация в терминах времени и частоты
4 Таблица важных преобразований Фурье
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

[править] Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).

Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)

По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

[править] Разновидности преобразования Фурье

[править] Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами ω и комплексными амплитудами $F(\omega)= \mathcal{F}(f)(t)$ . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

$F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-2\pi i\nu t}\,d\tau$

$F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega t}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$

$F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega t}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$

(ω=2π ν)

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

[править] Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2π), и представляют эти функции как ряды синусоид:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$

где $F n$ — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],$

где a_n и b_n — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

[править] Дискретное преобразование Фурье

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции x_k, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет x_k как сумму синусоид:

$x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\dots,n-1$

где f_j — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует O(n²) операций, этот расчет может быть сделан за O(n log n) операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

[править] Оконное преобразование Фурье

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

$F(t,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,$

где $F (t,ω)$ дает распределение частот части оригинального сигнала $f (t)$ в окрестности времени $t$ .

[править] Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором x_k определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

[править] Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

[править] Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье $F (ω)$ и $G (ω)$ обозначают фурье компоненты функций $f (t)$ and $g (t)$ , соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями. Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как $\sqrt{2\pi}$ , зависит от соглашения какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения конечно правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	$a f(t) + b g(t)\,$	$a F(\omega) + b G(\omega)\,$	Линейность
2	$f(t - a)\,$	$e^{- i\omega a} F(\omega)\,$	Запаздывание
3	$e^{ iat} f(t)\,$	$F(\omega - a)\,$	Частотный сдвиг
4	$f(a t)\,$	$\|a\|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	Если $a\,$ большое, то $f(a t)\,$ сосредоточена около 0 и $\|a\|^{-1}F(\frac{\omega}{a})\,$ становится плоским
5	$\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n F(\omega)\,$	Свойство преобразования Фурье от n-ой производной
6	$t^n f(t)\,$	$i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,$	Это обращение правила 5
7	$(f * g)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\,$	Запись $f * g\,$ означает свёртку $f\,$ и $g\,$ — это правило теорема о свёртке
8	$f(t) g(t)\,$	$(F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	Это обращение 7
9	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$\delta(t)\,$ означает дельта-функцию Дирака
10	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,$	Обращение 9.
11	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	Здесь, $n\,$ натуральное число. $\delta^n(\omega)\,$ — n-тая обобщённая производная дельта-функции Дирака. следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1, позволяет делать преобразования любых многочленов
12	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)\,$	Следствие 3 и 10
13	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}\,$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера $\cos(a t) = \frac{1}{2} \left( e^{i a t} + e^{-i a t}\right)\,$
14	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}\,$	Также из 1 и 12
15	$\exp(-a t^2)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,$	показывает, что функция Гаусса $\exp(-t^2/2)\,$ совпадает со своим изображением
16	$W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)\,$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)\,$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	Здесь $\sgn(\omega)\,$ — sign функция; заметим. что это правило в согласии с 6 и 10
18	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,$	Обобщение 17
19	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,$	Обращение 17
20	$\sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\,$	$\frac{1}{i\omega} + \pi\delta(\omega)\,$	Здесь $\mathrm{H}(t)\,$ — функция Хевисайда; следует из правил 1 и 19

[править] Литература

Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])

[править] См. также

Численно-теоретические преобразования
Преобразование Лапласа
Ортогональные функции
Вейвлет
Чирплет

[править] Ссылки

Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr

Интегральные преобразования
Преобразование Абеля \| Преобразования Бесселя \| Преобразование Бушмана \| Преобразование Ганкеля \| Преобразование Гильберта \| Преобразование Конторовича—Лебедева \| Преобразование Лапласа \| Преобразование Мейера \| Преобразование Мелера-Фока \| Преобразование Меллина \| Преобразование Нерейна \| Преобразование Радона \| Преобразование Стильтьеса \| Преобразование Фурье \| Преобразование Хартли

Категории: Интегральные преобразования | Дискретные преобразования | Математический анализ | Функциональный анализ | Обработка сигналов и изображений