Фуријеова трансформација

Из пројекта Википедија

Фуријеова трансформација је важна математичка операција којом се периодична функција разлаже на своје "спектралне компоненте" ради једноставније анализе. Неколико првих чланова таквог развоја се у техници често узимају као веома корисна врста апроксимације. Дискретна Фуријеова трансформација претвара дискретне вредности (вектор) у фурије коефицијенте. Непрекидна Фуријеова трансформација ради то исто са функцијом. Назив је добила по француском математичару Жозефу Фуријеу (1768-1830).

[уреди] Математичка основа

Узмимо неку периодичну функцију $f(t)\,$ са периодом T, за коју важи $f(t+T) = f(t)\,$ . Због периодичности можемо да је разделимо на N синус и косинус функција:

$f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).$ , $\omega:= 2 \cdot \pi \cdot freq$ , где је

f r e q

основна фреквенција односно хармоник.

Треба имати на уму да је синус само косинус са фазним померајем:

$f(t)=\sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n) =A_0+\sum_{n=1}^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))$

Када дефинишемо $a_0:=A_0\,$ , а потом $a_n:=A_n\cos \varphi_n$ и $b_n:=A_n\sin \varphi_n$ добијамо исти израз, овог пута без фазе:

$f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).$

Зашто не узети tan или рецимо cosh? Зашто баш cos и sin? Разлог је ортогоналност sin и cos функција. $cos(t) \cdot sin(t) = \int_{0}^{2\pi} cos(t) \cdot sin(t) {d}t = 0$

Идеја иза фуријеове трансформације је следећа: цео простор који има "нормалне" осе трансформишемо у простор у коме су нове ортогоналне осе косинус и синус таласи и њихови виши хармоници. Сигнал који трансформишемо је само једна тачка (месни вектор), а вредности на свакој оси су амплитуде сваког хармоника појединачно ( $[A_0,\ldots,A_N]$ ).

Сада се укључује Ојлеров идентитет уз помоћ кога ове тригонометријске функције можемо да заменимо комплексним панданима:

$\cos (x) = \frac{1}{2} \left( e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right)$ и $\sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i}} \left( e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right)$

Из тога даље следи

$f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)$

$= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t})+\mathrm{i}b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)$

$= a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left( (a_n+\mathrm{i}b_n)e^{\mathrm{i}n \omega t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)e^{-\mathrm{i}n \omega t}\right)$

Заменимо реалне коефицијенте комплексним:

$c_0:=a_0\,$ , $c_n:=\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)$ и $c_{-n}:=\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n) = \overline{c_n}$

добијамо суму са негативним индексима:

$f(t) = \sum_{k=-N}^{N} c_ke^{\mathrm{i}k \omega t }$

Такође, не треба губити из вида да су $e i j t$ функције исто ортонормалне базе (сваки вектор који представља осу има дужину 1 и нормалан је у односу на све остале векторе):

У случају $j = k$

$(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} j t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} j t} } dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} j t} dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} 1 dt = 1$

А за $j \neq k$ важи:

$(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} k t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} k t} } dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} k t} dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} (j-k) t}$

$= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j - k)} \left[ e^{ \mathrm{i}(j-k) t} \right ]_0^{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \left ( e^{\mathrm{i} (j-k) 2\pi} - 1 \right ) =$

$= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \cdot 0 = 0$

[уреди] Фуријеови редови

Но, желимо сада да неку периодичну и непрекидну функцију приближно израчунамо уз помоћ суме тригонометријских функција (конкретно: косинуса и синуса). Видели смо како можемо да дођемо до $c j$ ; горњу једначину множимо са $e - i m ω t$ и напослетку интегришемо са обе стране по интервалу [0,T] односно у трајању једне периоде:

$e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) = \sum_{n=-N}^N c_n \left( e^{\mathrm{i}(n \omega t)} e^{-\mathrm{i} m \omega t} \right) = \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t} =\sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} n \omega t }$

$\Leftrightarrow \int_0^T e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt$

За интеграле са десне стране важи:

када је n=0: $\int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t } dt = \int_0^T e^0 = \left[ 1 \right]_0^T = T$

а када је n≠0: $\int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = \left[ \frac1{\mathrm{i}n \omega } e^{\mathrm{i} n\omega t} \right]_0^T$ $= \frac1{\mathrm{i}n \omega } (e^{\mathrm{i} n\omega T } - 1)$

Из $ω T = 2π$ следи $e i n ω T = (e 2πi) n = 1$ , а то даље можемо да применимо на горе наведени интеграл:

$\int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = 0$

На крају се цела рачуница упрошћава:

$\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt = \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt$

$= \sum_{n=-N-m}^{-1} c_{n+m}\int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt + c_m \cdot \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t} dt + \sum_{n=1}^{N-m} c_{n+m}\int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt$

$= 0 + c_mT + 0 = c_mT = \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt$

$\Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt.$

У целом рачуну нека нас не збуњује коришћење променљиве $m$ , њена сврха је пуко упрошћавање једначине. Све је стога само досетљивост, односно уметност како написати једно те исто на другачији начин.

На крају, Фуријеов ред дефинишемо:

$f_N(t):=\sum_{n=-N}^N c_ne^{in\omega t}$

[уреди] Конвергентност Фуријеовог реда

Фуријеов ред конвергира ка многим функцијама; ту спадају поред осталих све функције које имају извод или квадратни интеграл.

Претпоставимо да је $f (t)$ једна таква функција. Када наместимо $N \rightarrow \infty$ , онда она такође може да се напише и овако:

$f(t) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{ \mathrm{i} n \omega t } = \sum_{n=-N}^N \frac1T ( \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt ) \cdot e^{ \mathrm{i} n \omega t } = \sum_{n=-N}^N \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t }}{ T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt$