Transformada de Fourier

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A Transformada de Fourier, baptizada em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar.

[editar] Aplicações

As transformadas de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em Física, Teoria dos números, Análise combinatória, Processamento de sinal, Teoria das probabilidades, Estatística, Criptografia, Acústica, Oceanografia, Óptica, Geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.

As transformadas são operadores lineares e, com a devida normalização, são também unários (uma propriedade conhecida como o teorema de Parseval ou, mais geralmente, como o teorema de Plancherel, e mais geral ainda, a dualidade de Pontryagin).

As transformadas são invertíveis, e a transformada inversa tem quase a mesma forma que a transformada.

As funções de base sinusoidal são funções de diferenciação, o que implica que esta representação transforma equações diferenciais lineares com coeficientes constantes em equações algébricas ordinárias. (Por exemplo, num sistema linear invariante no tempo, a frequência é uma quantidade conservada, logo o comportamento em cada frequência pode ser resolvido independentemente.)

Através do teorema de convolução, as transformadas tornam a complicada operação de convolução em multiplicações simples, o que as torna num método eficiente de calcular operações baseadas em convolução, como a multiplicação polinomial e multiplicação de números grandes.

A versão discreta da transformada de Fourier pode ser calculada rapidamente por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

[editar] Transformada contínua de Fourier

Geralmente, a denominação "Transformada de Fourier" refere-se à Transformada de Fourier para funções contínuas, que representa qualquer função integrável f(t) como a soma de exponenciais complexas com freqüência angular ω e amplitude complexa F(ω):

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{ -i\omega t}\,dt$

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

[editar] Transformada discreta de Fourier

Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores $x k$ discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.

$x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{\frac{2\pi i}{n} j k} \quad \quad k = 0,\dots,n-1$ .

$f_j = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-\frac{2 \pi i}{n} j k} \quad \quad j = 0, \dots, n-1$

Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é o algoritmo FFT (Fast Fourier transform), cuja complexidade é O(n log n) contra O(n²) necessários para o mesmo cálculo, porém pela definição.

[editar] Algumas transformadas de Fourier

$f (t)$	$F (ω)$
$\delta(t)\,\!$	$1\,\!$
$\delta(t-a)\,\!$	$e^{-ia\omega}\,\!$
$u(t)\,\!$	$\pi\delta(\omega)+\frac {1}{i\omega}\,\!$
$1\,\!$	$2\pi\delta(\omega)\,\!$
$\operatorname{sgn}(t)\,\!$	$\frac {2}{i\omega}\,\!$
$e^{i\omega_0t}\,\!$	$2\pi\delta(\omega-\omega_0)\,\!$
$\cos \omega_0t\,\!$	$\pi(\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0))\,\!$
$\sin \omega_0t\,\!$	$\frac {\pi}{i}(\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0))\,\!$
$\operatorname{rect}(t/a)\,\!$	$a\operatorname{sinc}(\omega a/2)\,\!$
$\cos(\omega_0t)u(t)\,\!$	$\frac {\pi}{2} (\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {i\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!$
$\sin(\omega_0t)u(t)\,\!$	$\frac {\pi}{2i} (\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)) + \frac {i\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!$
$\operatorname{rect}(t/a)\cos(\omega_0t)\,\!$	$\frac {a}{t}\left ( \operatorname{sinc}\frac {(\omega-\omega_0)a}{2} + \operatorname{sinc}\frac {(\omega+\omega_0)a}{2} \right )\,\!$
$\frac {b}{\pi}\operatorname{sinc}(bt)\,\!$	$\operatorname{rect}(\omega/2b)\,\!$
$e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {1}{a+i\omega}\,\!$
$1t^{n-1}e^{-at}u(t), \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {(n-1)!}{(a+i\omega)^n}\,\!$
$e^{-a\|t\|}, \operatorname{Re}(a) > 0\,\!$	$\frac {2a}{a^2 + \omega^2}\,\!$
$e^{-t^2}\,\!$	$\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\,\!$
$\frac {1}{\sqrt{\|t\|}}\,\!$	$\sqrt{\frac {2\pi}{\|\omega\|}}\,\!$
$\frac {1}{t^2+a^2}\,\!$	$\frac {\pi}{a}e^{-a\|\omega\|}\,\!$