Fouriertransformatie
In de wiskunde, meer bepaald binnen de Fourieranalyse, is de (continue) Fouriertransformatie een lineaire operator die functies afbeeldt op andere functies. Je zou kunnen zeggen dat de Fourier transformatie een functie ontbindt in het continue spectrum van de frequenties waaruit die functie is opgebouwd. In de mathematische fysica, kan de Fourier getransformeerde van een signaal f(t) worden gezien als dat signaal in het "frequentiedomein". Dit is ook de basisgedachte achter de Fourierreeks van een periodieke functie.
Stel dat f een complexe Lebesgue-integreerbare functie is. Dan definiëren we de bijbehorende continue Fouriergetransformeerde F als zijnde de volgende complexe functie:
voor ieder reëel getal ω. (Hierbij is i de imaginaire eenheid). We zien ω als een hoekfrequentie en F(ω) als het complexe getal dat de amplitude en fase aangeeft van de signaalcomponent van f(t) bij die frequentie.
De Fouriertransformatie is bijna een tot zichzelf inverteerbare afbeelding: als F(ω) gedefinieerd is als boven, en f voldoende 'glad' is, dan geldt
voor ieder reëel getal t.
De factoren 
voor de integralen zijn normalisatie-factoren. Deze zijn vrij te kiezen zolang hun product maar gelijk is aan 
. De hierboven gekozen waardes worden unitaire normalisatie constanten genoemd; een andere gebruikelijke keuze is 1 en 1 / 2π voor resp. de voorwaartse en inverse transformatie. Een vuistregel is dat wiskundigen de voorkeur geven aan de eerste variant (uit symmetrie-overwegingen), terwijl natuurkundigen en technici de tweede variant gebruiken.
Ook zij hier opgemerkt dat de Fourier variabele ω soms wordt vervangen door 2πν, waarbij de integratie plaatsvindt over de frequentie ν (in plaats van de hoek); in dat geval zijn de unitaire normalisatie constanten beiden gelijk aan 1. Een andere arbitraire keuze is of de exponent + iωt dan wel − iωt is in de voorwaartse transformatie; de enige echte eis is dat in de voorwaartse- en inverse transformatie de exponenten een tegengesteld teken hebben.
[bewerk] Overzicht standaardfouriertransformaties
| functie | Fouriergetransformeerde functie |
| f(x) | F(ξ) |
| f(x − c) | e − icξF(ξ) |
| eicxf(x) | F(ξ − c) |
| f(ax) | a − 1F(a − 1ξ) |
| f'(x) | iξF(ξ) |
| f''(x) | − ξ2F(ξ) |
[bewerk] Toepassingen
De Fouriertransformatie wordt in de natuurkunde vooral toegepast om partiële differentiaalvergelijkingen te vereenvoudigen. Voorbeelden zijn de warmtevergelijking en de golfvergelijking.
