Fourier-transform

Wikipedia

Fourier-transformen, efter Jean Baptiste Joseph Fourier, är en transform som överför en funktion från tidsplanet till frekvensplanet. Där uttrycks funktionen som summan av sina sinusoidala basfunktioner, eller deltoner. Dessa är sinsemellan ortogonala, vilket gör transformering till och från frekvensplanet relativt enkla.

Fourier-transfomen har stor betydelse inom alla områden där frekvensanalys är av intresse. Den kan även användas för att underlätta lösning av differentialekvationer.

Fourier-transformen är definierad för såväl tidskontinuerliga som tidsdiskreta signaler. När den används på tidsbegränsade eller periodiska signaler benämns resultatet normalt Fourier-serier.

[redigera] Definitioner

[redigera] Tidskontinuerlig Fourier-transform

Fourier-transformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(t), t\in\mathbb{R}$ , definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(t)) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

Motsvarande inverstransform:

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(t,\omega) = e^{i\omega t},\ \omega,t\in\mathbb{R}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(t,\omega_1),\Phi(t,\omega_2) \right\rangle = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \Phi(t,\omega_1) \Phi^*(t,\omega_2) \, dt$

$= \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{i\omega_1t} e^{-i\omega_2t} \, dt = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidskontinuerliga Fourier-transformen är en variant av Laplace-transformen, med parametern $s = i ω$ . Egenskaper för Fourier-transformen är:

Linearitet

$\mathcal{F}\left(af(t) + bg(t)\right) = a\mathcal{F}(f(t)) + b\mathcal{F}(g(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

Derivering

$\mathcal{F}\left(\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right) = (i\omega)^{(n)}F(\omega)$

$\mathcal{F}((-it)^n f(t)) = \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}$

Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(t)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(t)g(t)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$

Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(t-T)) = e^{-i\omega T}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega t}f(t)) = F(\omega-\Omega)$

[redigera] Tidskontinuerlig Fourier-serie

Fourier-serien för en reell- eller komplexvärd tidsbegränsad funktion $f(t), t\in\{\mathbb{R}, t_0\le t\le t_0+T\}$ , eller för en reell- eller komplexvärd periodisk funktion $f (t)$ med periodiciteten $T$ , definieras som:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_k e^{i2\pi kt/T}$

där

$c_k = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-i2\pi kt/T}\,dt \quad (k\in\mathbb{Z})$

Basfunktionerna är:

Φ k (t) = e i 2π k t / T

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi_k(t),\Phi_l(t) \right\rangle = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} \Phi_k(t) \Phi_l^*(t) \, dt$

$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} e^{i2\pi kt/T} e^{-i2\pi lt/T} \, dt = \begin{cases} 1, & \mbox{om } k = l \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

[redigera] Tidsdiskret Fourier-transform

Fourier-transformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(n), n\in\mathbb{Z}$ , definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(n)) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{-i\omega n}$

Motsvarande inverstransform:

$f(n) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F(\omega) e^{i\omega n}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(n,\omega) = e^{i\omega n},\quad \omega\in\{\mathbb{R}:\,[-\pi,\pi]\}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(n,\omega_1),\Phi(n,\omega_2) \right\rangle = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} \Phi(n,\omega_1) \Phi^*(n,\omega_2)$

$= \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} e^{i\omega_1n} e^{-i\omega_2n} = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidsdiskreta Fourier-transformen är en variant av Z-transformen, med parametern $z = e i ω$ . Egenskaper för Fourier-transformen är:

Linearitet

$\mathcal{F}\left(af(n) + bg(n)\right) = a\mathcal{F}(f(n)) + b\mathcal{F}(g(n)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

Derivering

$\mathcal{F}((-in)^m f(t)) = \frac{d^m F(\omega)}{d\omega^m}$

Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(n)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(n)g(n)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$ (cyklisk faltning över

2π

)

Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(n-m)) = e^{-i\omega m}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega n}f(n)) = F(\omega-\Omega)$

$Φ(n,ω)$ (och därmed $F (ω)$ ) är en periodisk funktion med periodiciteten $2π$ .

[redigera] Tidsdiskret Fourier-serie

Fourier-transformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(n), n\in\{\mathbb{Z}, 0\le n\le N-1\}$ , definieras som:

$f(n) = \sum_{k=0}^{N-1} c_k e^{i2\pi kn/N}$

där

$c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{-i2\pi kn/N}\,dt \quad (k\in\mathbb{Z})$

Basfunktionerna är:

Φ k (n) = e i 2π k n / N

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi_k(n),\Phi_l(n) \right\rangle = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Phi_k(n) \Phi_l^*(n)$

$= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{i2\pi kn/N} e^{-i2\pi ln/N} = \begin{cases} 1, & \mbox{om } k = l \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidsdiskreta Fourier-serien kräver i allmänhet $N 2$ komplexa multiplikationer. Algoritmer för att beräkna den betydligt snabbare går under namnet FFT (Fast Fourier Transform), vilka kräver i storleksordningen $N log N$ komplexa multiplikationer.

[redigera] Se även

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../f/o/u/Fourier-transform.html

Kategorier: Transformer | Fourieranalys | Differentialekvationer

Fourier-transform

Wikipedia

Innehåll

[redigera] Definitioner

[redigera] Tidskontinuerlig Fourier-transform

[redigera] Tidskontinuerlig Fourier-serie

[redigera] Tidsdiskret Fourier-transform

[redigera] Tidsdiskret Fourier-serie

[redigera] Se även

Views

Navigering

Sök

Andra språk