Формулы Эйлера
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
- Эта статья посвящена формуле Эйлера в комплексном анализе. Формула Эйлера в алгебраической топологии рассмотрена в статье Эйлерова характеристика. См. также статью Теорема Эйлера.
Формулы Эйлера — называются по имени Леонарда Эйлера, который их ввёл, и связывают тригонометрические функции с комплексной экспонентой.
или
![\cos x=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}).](../../../math/9/7/1/971f0fb1f31801b90728fe5ef7730654.png)
Благодаря формула Эйлера появилась так называемая тригонометрическая запись комплексного числа:
Также значительным результатом формул Эйлера можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа x в степень n его расстояние до центра возводится в степень n а угол поворота относительно оси OX увеличивается в n раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых n но и для рациональных. В частности комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве Основной Теоремы Алгебры: "Многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней". Но это тема другой статьи ;-).
(По данным лекций Слипенко А.К., Украина, Донецкий Национальный Университет)