Теория чисел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий натуральные числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.

Содержание

1 Элементарная теория чисел
2 Аналитическая теория чисел
3 Алгебраическая теория чисел
4 Ссылки

[править] Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел, целые чи́сла изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя, разложение числа́ на простые множители, совершенные чи́сла, малая теорема Ферма́, теорема Эйлера относятся к этому разделу.

[править] Аналитическая теория чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.

Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=0$ $(s\in\mathbb{C})$ лежат на т.н. критической прямой $\mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}$ .

[править] Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется закон единственности разложения на простые множители. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета и L-функции, когомологии групп и многое другое. Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел в свое пополнение по одной из метрик — архимедово, то есть вложение в поле вещественных или комплексных чисел, или неархимедово, то есть вложение в поле p-адических чисел.