Гамма-функция Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел.

[править] Определение

График гамма-функции действительного переменного

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то интеграл

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

сходится абсолютно (своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру). Применяя интегрирование по частям, можно показать, что

Γ(z + 1) = z Γ(z)

А поскольку $Γ(1) = 1$ , получаем:

$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=...=n!\Gamma(1)=n!\,$

для всех натуральных чисел n. В дальнейшем это может понадобиться для продолжения $Γ(z)$ в мероморфную функцию, определенную для всех комплексных $z$ , за исключением $z = 0; - 1; - 2; - 3;...$ с помощью аналитического продолжения. Именно эту расширенную версию обычно и считают гамма-функцией.

Другое важное функциональное уравнение для гамма-функции — это формула дополнения

$\Gamma(1-z)\Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}$ .

Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

Π(z) = Γ(z + 1) = z Γ(z)

Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого аргумента это

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ .

Гамма-функция имеет полюс в $z = - n$ для любого натурального $n$ ; вычет в этой точке задается так

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}$ .

Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных $z$ , не являющихся неположительными целыми:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$ , где

γ

— это гамма-константа Эйлера.

[править] Связь с другими функциями

В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:

$\Gamma ( a , z ) = \int_{z}^{ \infty } { e^{- t} \cdot t ^ {a-1} dt}$