Gammafunktio

Wikipedia

Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla

Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia $Γ$ (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

$\Gamma (r) = \int_0^\infty x^{r-1} e^{-x} \, dx$ .

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä $I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx = \frac{1}{a}$ . $I \,\!$ on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

$\frac{dI}{da} = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} \left( e^{-ax} \right) dx = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{a} \right)$

josta

$\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} dx = \frac{1}{a^2}$

Toistetaan:

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-ax} dx = \frac{1 \times 2}{a^3}$

Toistetaan:

$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-ax} dx = \frac{1 \times 2 \times 3}{a^4}$

$\vdots$

$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}$

Sijoitetaan $a = 1 \,\!$ ja saamme

$n! = \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} dx$

josta määrittelemme gammafunktion

$\Gamma \left( p \right) = \int_{0}^{\infty} x^{p - 1} e^{-x} dx \qquad p \geq 0$

n!:n generalisoinniksi reaaliluvuille. Luonnollisille luvuille:

$\Gamma \left( p \right) = \left( p - 1 \right) ! \qquad p = 1, 2, 3, \cdots$

[muokkaa] Gammafunktion ominaisuuksia

Jos $n$ on luonnollinen luku, niin $Γ(n) = (n - 1)!$
Jos $n$ on luonnollinen luku, niin $\Gamma \left(\frac {2n+1}{2}\right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2^n}\sqrt{\pi}$ , josta saadaan arvo $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$
Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona: $\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\ldots(z+n)}$