Fungsi gamma

Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas

Dina matematik, fungsi gamma nyaeta fungsi nu leuwih lega tina konsep faktorial kana wilangan kompleks.

Daptar eusi

1 Harti
2 Kaitan jeung fungsi sejen
3 Tempo oge
4 Rujukan
5 Tumbu kaluar

[édit] Harti

Lambang Γ(z) dumasar ka Adrien-Marie Legendre. Lamun bagean real tina wilangan kompleks z positip, mangka integral

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

pasti konvergen. Migunakeun integral parsial, bisa ditembongkeun yen

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.$

Sabab Γ(1) = 1, dina kaitan ieu ngakibatkeun yen

$\Gamma(n+1)=n!\,$

keur sakabeh wilangan natural n. Ieu bisa dipake keur ngalegaan Γ(z) jadi fungsi meromorpik diartikeun keur sakabar wilangan kompleks z ial z = 0, −1, −2, −3, ... ku analisa kontinyu. Hal nu leuwih lega ilaharna dumasar salaku fungsi gamma. Notasi alternatip nu kadangkala dipake nyaeta fungsi Pi, nu dina watesan fungsi gamma nyaeta

Π(z) = Γ(z + 1) = z Γ(z).

Kadangkala oge manggihkeun

$\pi(z) = {1 \over \Pi(z)}\,$

nu ngarupakeun hiji fungsi sakabehna, diartikeun keur sakabeh wilangan kompleks. Yen π(z) ngarupakeun sakabeh nu diperlukeun anu teu mibanda kutub, mangka Γ(z) teu mibanda nol.

Bisa oge nilai keur fungsi gamma dina non-integer nyaeta

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.$

Fungsi gamma mibanda hiji kutub orde 1 dina z = −n keuw sakabeh wilangan alami n; sesana diberekeun ku

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.$

Bentuk kakali fungsi gamma saterusna nyaeta valid keur sakabeh wilangan kompleks z nu lain integer non-positip:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

numana γ ngarupakeun konstanta Euler-Mascheroni.

TeoremaBohr-Mollerup nangtukeun yen antara sakabeh fungsi dilegaan ku fungsi faktorial kana wilangan riil positip, ngan lamun fungsi gamma ngarupakeun log-convex.

[édit] Kaitan jeung fungsi sejen

Dina integral di luhur, nu ngahartikeun fungsi gamma, watesan integralna geus ditangtukeun. Fungsi gama nu teu lengkep ngarupakeun fungsi nu ditangtukeun ku nuturkeun wates luhur atawa handap tina integral jadi variabel.

Turunan logaritma fungsi gamma disebutna fungsi digamma.

[édit] Tempo oge

Fungsi beta.
Stirling's approximation

[édit] Rujukan

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)

G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)

W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)