Гама-функција

Из пројекта Википедија

Гама-функција на интервалу

У математици, гама-функција је функција која проширује појам факторијелa на све комплексне бројеве.

Садржај

1 Дефиниција
2 Основна својства
3 Историјат
4 Уопштења и везе са другим функцијама
5 Види још

[уреди] Дефиниција

Гама-функција $\Gamma(z)\,$ дефинисана је за комплексне бројеве $z\,$ за које је $\Re(z)>0$ несвојственим интегралом

$\Gamma(z)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt.$

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције $e^{-t}\,$ . Парцијалним интеграљењем се лако показује следеће њено основно својство

$\,\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$

Како је према дефиницији $\Gamma(1)=1\,$ , ова релација дакле повлачи да је

$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot\Gamma(1)=n!$

за све природне бројеве n.

Са друге стране, у облику

$\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z\,$ ,

она даје аналитичко продужење $\Gamma\,$ -функције до полуравни $\Re(z)>-1$ , са полом у $z=0\,$ , затим до полуравни $\Re(z)>-2$ , са још једним полом у $z=-1\,$ , итд. Тако се $\Gamma\,$ -функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве $z\,$ осим полова у непозитивним целим бројевима $z=0,-1,-2,\ldots\,$ . Под $\Gamma\,$ -функцијом подразумева се по правилу овако дефинисано продужење.

[уреди] Основна својства

Гама-функција није елементарна, али су њена својства веома добро истражена. Међу најважнијима су функционална једначина

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$

и Лежандрова дупликациона формула

$\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right).$

Гама-функција нема нула. У тачкама $z=-n\,$ , где је $n\,$ ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком $(-1)^n/n!\,$ ; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике z|\," />, вредности $\Gamma(z)\,$ даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

$\Gamma(z)=z^{z-1/2}e^{-z}\sqrt{2\pi}\left(1+\frac1{12z}+\frac1{288z^2}+\mathrm{O}\left(\frac1{z^3}\right)\right)$

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента

$\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n},$

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције $1/\Gamma(z)\,$ , која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика

$\Gamma(z)=\frac1z\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1+\frac1k\right)^z}{1+\frac zk}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.$

Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ , што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi},$

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за $\Gamma(1/n)\,$ ( $n>2\,$ ). За $\Gamma(1/3)\,$ и $\Gamma(1/4)\,$ је познато да су трансцендентни, као и $\Gamma(1/2)\,$ . Такође, $\Gamma'(1)=-\gamma\,$ .

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке $\Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,$ и $\pi(z)=1/\Pi(z)\,$ . Тако је $\Pi(n)=n!\,$ , док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

$\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac1n\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}n\right).$

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

[уреди] Историјат

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку $\Gamma(z)\,$ је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

[уреди] Уопштења и везе са другим функцијама

У интегралу којим се дефинише $\Gamma\,$ -функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева ${\mathbb R}$ са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види и Риманова зета-функција.