Гама-функција
Из пројекта Википедија
У математици, гама-функција је функција која проширује појам факторијелa на све комплексне бројеве.
Садржај |
[уреди] Дефиниција
Гама-функција дефинисана је за комплексне бројеве
за које је
несвојственим интегралом
Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције . Парцијалним интеграљењем се лако показује следеће њено основно својство
Како је према дефиницији , ова релација дакле повлачи да је
за све природне бројеве n.
Са друге стране, у облику
,
она даје аналитичко продужење -функције до полуравни
, са полом у
, затим до полуравни
, са још једним полом у
, итд. Тако се
-функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве
осим полова у непозитивним целим бројевима
. Под
-функцијом подразумева се по правилу овако дефинисано продужење.
[уреди] Основна својства
Гама-функција није елементарна, али су њена својства веома добро истражена. Међу најважнијима су функционална једначина
и Лежандрова дупликациона формула
Гама-функција нема нула. У тачкама , где је
ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком
; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.
За велике z|\," />, вредности даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:
За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ
где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције , која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика
Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је , што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће
који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за (
). За
и
је познато да су трансцендентни, као и
. Такође,
.
Веома ретко користе се и алтернативне ознаке и
. Тако је
, док је функција π цела.
Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.
Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:
Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.
[уреди] Историјат
Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.
Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.
[уреди] Уопштења и везе са другим функцијама
У интегралу којим се дефинише -функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.
Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види и Риманова зета-функција.
[уреди] Види још
- бета-функција
- хипергеометријска функција.