Funzione gamma

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Funzione gamma sui numeri reali

La funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo n si ha

Γ(n + 1) = n!

dove n! è il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da 1 a n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

[modifica] Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione Γ(z) è dovuta a Adrien-Marie Legendre. Se la parte reale del numero complesso z è positiva, allora l'integrale

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può vedere che la $Γ$ converge anche per z con parte reale non positiva, purché non intera. Usando l'integrazione per parti, si può dimostrare che: $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.$

Siccome Γ(1) = 1, questa relazione implica, per tutti i numeri naturali n, che

$\Gamma(n+1)=n!\,$

In statistica si incontra di frequente (p.es. nella variabile casuale normale) l'integrale

$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$

che si ottiene ponendo $\frac{x^2}{2}=t$ , e quindi $x=\sqrt{2t}$ , ottenendo quindi $dx=\sqrt{2} \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$

$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\pi}$

[modifica] Definizione alternativa

Le seguenti definizioni alternative per la funzione Gamma sono dovute a Gauss e Weierstrass rispettivamente, sono valide per tutti i complessi z a parte reale non positiva:

$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

dove γ è la costante di Eulero-Mascheroni.

[modifica] Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}$

e quella di duplicazione

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

La formula di duplicazione è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},$

che si può trovare ponendo z=1/2 nella formula di riflessione, od osservando il valore: che la funzione Beta assume in (1/2, 1/2), che è $\sqrt \pi$ .

Le derivate della Funzione Gamma sono descritte in termine di gamma ed altre funzioni, per esempio:

$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\,$

La funzione Gamma ha un polo di primo ordine in z = −n per ogni numero naturale n; qui il residuo è dato da:

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.$

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo Gamma è tale che $ln(Γ(z))$ è convessa.

[modifica] Voci correlate

Funzione Beta
Chi Quadrato
Approssimazione di Stirling
Funzione - Integrale - Integrale definito
Leonhard Euler (Eulero) - studiò la funzione Gamma
Eugene Lukacs - studiò la funziona Gamma (A Characterization of the Gamma Distribution in Annals of Mathematical Statistics, 1955)