Gamma-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A gamma-függvény (esetleg Γ-függény) a következő képlettel definiált valós függvény:

$\Gamma : \bold R_+ \rightarrow \bold R, \quad \quad \Gamma (\alpha) := \int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} \ du.$

Megmutatható, hogy ez az integrál minden α > 0-ra véges, sőt, α > 1 esetén

$\Gamma (\alpha)=(\alpha-1)\Gamma (\alpha) \,$

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n - 1)! azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának -1 feletti valós számokra.

A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűségi eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

[szerkesztés] Tulajdonságai

A Gauss-féle definíció:

$\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$

A Weierstrass-féle szorzatalak:

$\frac{1}{\Gamma(x)}=xe^{\gamma x}\prod^{\infty}_{n=1}\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-\frac{x}{n}},$

ahol γ az Euler-állandó.

A Gauss-féle sokszorozási formula:

$n^{nx-1}\Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(x+\frac{n-1}{n}\right)=\frac{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}{\sqrt{n}}\Gamma(nx)$

Ha x nem egész szám, akkor

$\Gamma (x)\cdot\Gamma (1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$

Speciálisan $\Gamma (1/2)=\sqrt\pi$ .

A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(x) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi két feltételt.

$(1)\quad f(x+1)=xf(x)$

$(2) \quad f(1)=1$

Hölder tétele: a $Γ$ -függvény nem megoldása semmilyen algebrai diferenciálegyenletnek, ahol az együtthatók racionális törtfüggvények.

[szerkesztés] Aszimptotikák

A gamma függvényt nagy $z$ értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

$\Gamma \left( z \right) = z^{z - \frac{1}{2}} e^{ - z} \sqrt {2\pi } \left( {1 + O\left( {\frac{1}{z}} \right)} \right)$ ,

illetve

$\Gamma \left( z \right) = z^{z - \frac{1}{2}} e^{ - z} \sqrt {2\pi } \left( {1 + \frac{1}{{12}}z^{ - 1} + \frac{1}{{288}}z^{ - 2} - \frac{{139}}{{51840}}z^{ - 3} - ...} \right)$

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

$\ln \Gamma \left( z \right) = \left( {z - \frac{1}{2}} \right)\ln z - z + \frac{1}{2}\ln 2\pi + \frac{1}{{12z}} - \frac{1}{{360z^3 }} + \frac{1}{{1260z^5 }} - \ldots$

Hányados aszimptotikus előállítása:

$\frac{{\Gamma \left( {x + a} \right)}}{{\Gamma \left( {x + b} \right)}} \sim x^{a - b} \left( {1 + \frac{1}{{2x}}\left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) + \frac{1}{{24x^2 }}\left( {a - b} \right)\left( {a - b - 1} \right)\left( {3\left( {a + b - 1} \right)^2 - a + b - 1} \right) + ...} \right)$

[szerkesztés] Források

Fazekas F. - Frey T. (1965): Operátorszámítás, speciális függvények. Tankönyvkiadó, Budapest.
Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.