Мероморфная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Мероморфная функция одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности Ω) — голоморфная функция f в области , которая в каждой особой точке ai имеет полюс (таким образом ai — изолированная точка множества , не имеющего предельных точек в Ω, и ). Совокупность M(Ω) всех мероморфных функций на области Ω является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.
[править] Свойства
- Отношение φ / ψ любых голоморфных в Ω функций, φ и ψ, является мероморфной функцией в Ω.
- Обратно, всякая мероморфная функция в области (и на некомпактной римановой поверхности Ω) представляется в виде φ / ψ, где φ и ψ голоморфны и не имеют общих нулей в Ω.
Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле M(Ω) совпадает с полем отношений кольца голоморфных функций в Ω.
- Всякая мероморфная функция определяет непрерывное отображение f области Ω в сферу Римана , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры .
- Обратно, всякое голоморфное отображение , определяет мероморфную функцию f на Ω. При этом множество полюсов f совпадает с дискретным множеством .
Таким образом, мероморфная функция одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.
- На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера)
- На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.