Nabla
Z Wikipedii
Operatory różniczkowe |
Nabla - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.
W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych:
dokładniej:
gdzie to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R3.
Operator nabla może być uogólniony na n-wymiarową przestrzeń euklidesową Rn. W kartezjańskim układzie współrzędnych ze współrzędnymi (x1, x2, ..., xn), nabla jest określona:
gdzie wersory bazowe układu współrzędnych.
Używając sumarycznej notacji Einsteina zapisuje się jako:
Operator nabla może być wyrażony też w niekartezjańskich układach współrzędnych, lecz zazwyczaj wzory są bardziej złożone.
Spis treści |
[edytuj] Działanie operatora nabla na
[edytuj] Pole skalarne
Operator nabla działając na funkcję skalarną określoną w przestrzeni (pole skalarne) f tworzy pole wektorowe . Wyrażenie to jest zapisywane i postrzegane jako iloczyn wektora przez liczbę, wynikiem tego działania jest wektor. Czyli:
Operator ten to gradient.
[edytuj] Pole wektorowe
Operator nabla może być użyty też na funkcji wektorowej czyli na polu wektorowym, tworząc pole tensorowe (tensor), pole wektorowe lub pole skalarne. Operacje te zapisuje się symbolicznie jako odpowiednie działania na symbolicznym wektorze nabla i wektorze pola: iloczyn tensorowy, iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów.
Iloczyn tensorowy operatora i wektora pola v zapisywany jest jako i reprezentuje iloczyn diadyczny.
Iloczyn wektorowy operatora i wektora pola zapisywany jest jako i odpowiada rotacji:
Iloczyn skalarny operatora i wektora pola zapisywany jest jako i odpowiada dywergencji:
[edytuj] Dwukrotne działanie operatora
Dla pola skalarnego f, wynikiem dziłania operatora różniczkowego jest wektor i jest tylko jedna postać tego pola. Otrzymane pole wektorowe można poddać działaniu operatora uzyskując 3 możliwości.
Dla wektorów nie wszystkie drugie różniczki mają znaczenie praktyczne, dlatego zdefiniowano tylko 6 drugich różniczek pola wektorowego
W tabelce przedstawiono zapis dwukrotnego działania operatora na pole skalarne i wektorowe
Dla pola skalarnego f | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Dla pola wektorowego v | ||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Przy czym zachodzą prawidłowości odpowiadające:
- oznacza rotacja pola dla którego istnieje pole skalarne (potencjalne) jest równa zero,
Oraz:
Pozostaje tylko 6 nietrywialnych drugich pochodnych odpowiadają one operacjom:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
W celu uproszczenia zapisu stosuje się notację:
Operator Δf to laplasjan najważniejszy z operatorów drugiego stopnia.
Dla pól zachowawczych (potencjalnych) macierz jest macierzą symetryczną, więc jest to macierz hermitowska. Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne.
Dla podwójnego iloczynu wektorowego zachodzi: