Operatore Nabla

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Chiamato anche Atled (Delta letto al contrario) a causa della sua forma a Delta (Δ) rovesciato, in matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il nabla (spesso indicato col simbolo $\nabla$ ) è un operatore definito come

$\nabla \equiv \lim_{\tau\to0}{\frac{\int_\sigma{\hat{n}[\,\,]d\sigma}}{\tau}}$

Questo operatore consente di riscrivere in maniera compatta varie equazioni differenziali, soprattutto equazioni che si incontrano nella fisica matematica. Infatti dalla definizione, discendono le seguenti relazioni:

$\nabla\Phi=\mathrm{grad}\Phi$

$\nabla\cdot{}A=\mathrm{div}A$

$\nabla\times{}A=\mathrm{rot}A$

dove $Φ$ è una funzione reale di più variabili reali, $A$ è un campo, cioè una funzione vettoriale di più variabili reali, $\cdot$ rappresenta il prodotto scalare e $\times$ il prodotto vettoriale.

Spesso, per uno spazio $\mathbb{R}^{n,m}$ con funzioni di $n$ variabili a $m$ valori, si incontra una scrittura del tipo:

$\nabla=\sum_{i=1}^n{\frac{d}{dx_i}\hat{x_i}}$

dove la derivata può essere parziale. In effetti, tale scrittura appare supportata dalle relazioni relative a gradiente, divergenza e rotore. In realtà, tuttavia, si tratta di una definizione informale, che andrebbe evitata. Il nabla è definito più propriamente come un operatore differenziale tensoriale.

Il termine deriva direttamente dal nome, nabel, di uno strumento musicale a corda della tradizione ebraica europea, simile ad una semplice arpa, ovvero simile a una viola o ad un violino ma avente una cassa acustica di profilo triangolare, che richiama appunto quella della "delta" rovesciata.