Nabla

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Nabla, noté $\nabla$ , est un opérateur mathématique utilisé en physique, qui permet notamment de représenter aisément la divergence ( $\nabla \cdot \mathbf{A}$ ), le rotationnel ( $\nabla \times \mathbf{A}$ ) et le laplacien ( $\Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A}$ ) d'un vecteur $\mathbf{A}$ , ainsi que le gradient ( $\nabla f$ ) et le laplacien ( $\Delta f = \nabla^2 f$ ) d'un champ scalaire $f\,$ .

Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme.

La forme de Nabla vient d'un delta ( $Δ$ ) renversé, à cause d'une utilisation comparable (calcul différentiel), elle a été introduite par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec humour "atled" (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.

Ceci est une liste de quelques formules du calcul vectoriel d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées.

**Table avec les $\nabla$ (**nabla** ou del) dans les coordonnées cylindriques ou sphériques**
Opération	Coordonnées cartésiennes (x,y,z)	Coordonnées cylindriques (ρ,φ,z)	Coordonnées sphériques (r,θ,φ)
Définition des coordonnées		$\left[\begin{matrix} x & = & \rho\cos\phi \\ y & = & \rho\sin\phi \\ z & = & z \end{matrix}\right.$	$\left[\begin{matrix} x & = & r\sin\theta\cos\phi \\ y & = & r\sin\theta\sin\phi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix}\right.$
$\mathbf{A}$	$A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z}$	$A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}$	$A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}$
$\nabla f$	${\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y} + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z}$	${\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}$	${\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\phi}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}$
$\nabla\cdot\mathbf{A}$	${\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over \rho}{\partial \rho A_\rho \over \partial \rho} + {1 \over \rho}{\partial A_\phi \over \partial \phi} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r^2}{\partial r^2 A_r \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}$
$\nabla \times \mathbf{A}$	$\begin{matrix} ({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}) \mathbf{\hat x} & + \\ ({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}) \mathbf{\hat y} & + \\ ({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} ({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \phi} - {\partial A_\phi \over \partial z}) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\ ({\partial A_\rho \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial \rho}) \boldsymbol{\hat \phi} & + \\ {1 \over \rho}({\partial \rho A_\phi \over \partial \rho} - {\partial A_\rho \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} {1 \over r\sin\theta}({\partial A_\phi\sin\theta \over \partial \theta} - {\partial A_\theta \over \partial \phi}) \boldsymbol{\hat r} & + \\ ({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {1 \over r}{\partial r A_\phi \over \partial r}) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\ {1 \over r}({\partial r A_\theta \over \partial r} - {\partial A_r \over \partial \theta}) \boldsymbol{\hat \phi} & \ \end{matrix}$
$\Delta f = \nabla^2 f$	${\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}(\rho {\partial f \over \partial \rho}) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \phi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}(r^2 {\partial f \over \partial r}) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}$
$\Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A}$	$\mathbf{\hat x}\Delta A_x + \mathbf{\hat y}\Delta A_y + \mathbf{\hat z}\Delta A_z$	$\begin{matrix} \boldsymbol{\hat\rho}(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} - {2 \over \rho^2}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \boldsymbol{\hat\phi}(\Delta A_\phi - {A_\phi \over \rho^2} + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \phi}) & + \\ \boldsymbol{\hat z} \Delta A_z & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \boldsymbol{\hat r} & (\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} - {2 A_\theta\cos\theta \over r^2\sin\theta} \\ \ & - {2 \over r^2}{\partial A_\theta \over \partial \theta} - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \boldsymbol{\hat\theta} & (\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} \\ \ & + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}) & + \\ \boldsymbol{\hat\phi} & (\Delta A_\phi - {A_\phi \over r^2\sin^2\theta} \\ \ & + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \phi}) & \ \end{matrix}$
Règles de calcul non évidentes: $\mathrm{div}\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}$ $\operatorname{div\ grad\ } f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f$ (laplacien) $\operatorname{rot\ grad\ } f = \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ $\operatorname{div\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ $\operatorname{rot\ rot\ } \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$ $\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f$ Formule de Lagrange pour le produit vectoriel : $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$