Rotacja

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Operatory różniczkowe

nabla
gradient
dywergencja
rotacja
laplasjan
dalambercjan

Rotacja (wirowość) – operator różniczkowy działający na pole wektorowe $\bold F$ , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez $\operatorname{rot}$ lub $\operatorname{curl}$ (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako $d F$ .

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Notacja macierzowa
- 1.2 Notacja Einsteina
2 Własności rotacji
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla $\nabla$ i wektora $\bold F$ :

$\mathbf B = \operatorname{rot} (\mathbf F)= \nabla \times \mathbf F$ .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $F = [F x, F y, F z]$ mamy więc

$\begin{bmatrix} {\partial \over \partial x} \\ \\ {\partial \over \partial y} \\ \\ {\partial \over \partial z} \end{bmatrix} \times F= \begin{bmatrix} {\partial F_z \over \partial y} - {\partial F_y \over \partial z} \\ \\ {\partial F_x \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial x} \\ \\ {\partial F_y \over \partial x} - {\partial F_x \over \partial y} \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

$\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$ ,

gdzie $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ są wersorami osi $x, y, z$ układu współrzędnych.

[edytuj] Notacja Einsteina

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Lewiego-Civity jest zapisywana jako:

$(\nabla \times F)_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m$

[edytuj] Własności rotacji

Oznaczając przez $F, G$ pola wektorowe, przez $f$ pole skalarne dla $a, b \in \mathbb R$ zachodzą następujące własności:

rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

$\nabla\times \left(a\mathbf F + b\mathbf G \right) = a\nabla \times \mathbf F + b\nabla \times \mathbf G$ ,

rotacja gradientu jest zerowa

$\nabla \times \nabla f = \mathbf 0$ ,

rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

$\nabla\times \left(f \mathbf F \right) = \nabla f \times \mathbf F +f \nabla\times\mathbf F$ ,

rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

$\nabla \times \left( \mathbf F \times \mathbf G \right) = \left( \mathbf G \cdot \nabla \right)\mathbf F - \left( \mathbf F \cdot \nabla \right) \mathbf G + \mathbf F \left(\nabla \cdot \mathbf G \right) - \mathbf G \left( \nabla \cdot \mathbf F \right)$ ,