Operator Laplace'a

Z Wikipedii

Operator Laplace'a (laplasjan) jest operatorem różniczkowym drugiego rzędu, szczególnie ważnym elementem klasy operatorów eliptycznych. Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, modelu propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d'Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem ruchu Browna. Operator ten można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności.

W układzie kartezjańskim operator Laplace'a ma postać:

Operator Laplace'a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

Gdzie:

q_i - i-ta współrzędna

h_i - współczynniki Lamego, h_i = ( g_ii )^1/2

g_ii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Operator Laplace'a na funkcję skalarną działa dokładnie tak jak można się spodziewać, tzn. daje sumę pochodnych cząstkowych argumentu. Dla funkcji wektorowej natomiast działanie jest następujące:

Czyli też jest funkcją wektorową.