Iloczyn skalarny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Iloczyn skalarny (iloczyn hermitowski, forma hermitowska dodatnia) w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K (C liczby zespolone lub R liczby rzeczywiste) nazywamy takie odwzorowanie $V\times V \ni (x,y) \mapsto (x|y) \in \mathbb K$

1. $(x|x)>0 \;\mathrm{dla }\; x \ne 0$ (dodatnia określoność)
2. $(α x + β y | z) = α(x | z) + β(y | z)$ , gdzie $x,y,z\in V$ oraz $\alpha,\beta\in \mathbb K$ (liniowość)
3. $(x|y)= \overline{(y|x)}$ , gdzie $\overline \alpha$ jest sprzężeniem zespolonym (symetryczność)

Warunek trzeci jest ważny, gdy K=C.

[edytuj] Różne konwencje

Iloczyn skalarny jest półtoraliniowy, tzn. jest liniowy ze względu na jeden składnik i antyliniowy ze względu na drugi składnik. Są dwie możliwe konwencje i obie są używane. Zwykle matematycy przyjmują antyliniowość ze względu na drugi składnik, natomiast fizycy ze względu na pierwszy.

Podobnie istnieją różne konwencje dotyczące symboli używanych do oznaczania iloczynu skalarnego.

	iloczyn skalarny	sprzężenie zespolone
1.	$(x \| y)$	$\bar \alpha$
2.	$\langle x\|y\rangle$	$\alpha^\star$
3.	$\vec x \cdot \vec y$	$\alpha^\star$

[edytuj] Podstawowe własności

W geometrii euklidesowej trójwymiarowej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w przestrzeni:

$\vec x \cdot \vec y = |\vec x||\vec y| cos(\angle \vec x, \vec y)$ ,

gdzie $|\vec x|$ oznacza długość wektora $\vec x$ . Widać stąd, że jeżeli wektory $\vec x, \vec y$ są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli iloczyn skalarny dwu niezerowych wektorów jest równy zero, to są prostopadłe.

[edytuj] Norma a iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny pozwala określić normę wektora, czyli jego długość: ||x||=(x·x)^½. Ważną własnością tak otrzymanej normy jest tożsamość równoległoboku:

2||x||² + 2||y||² = ||x + y||² + ||x - y||².

[edytuj] Inne własności

W przypadku przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym. W przypadku przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb zespolonych jest funkcjonałem półtoraliniowym (lub inaczej – hermitowskim).

Pojęcie iloczynu skalarnego pozwala na wprowadzenie takich pojęć jak baza ortogonalna, prostopadłość wektorów, rzut prostokątny

[edytuj] Przykłady

W przestrzeni euklidesowej Rⁿ, dla A = (A₁, A₂,..., A_n) i B=(B₁, B₂,..., B_n) standardowy iloczyn skalarny określamy wzorem

A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+A_nB_n.

Jeżeli C[a,b] oznacza zbiór funkcji ciągłych na odcinku domkniętym [a, b], i w jest funcją ciąglą ("funkcja wagowa") to określając:

$\langle f,g\rangle:=\int_a^b f(x)\cdot g(x)\cdot w(x)\,dx$

gdzie ∫ oznacza np. całkę Riemanna, otrzymujemy iloczyn skalarny na przestrzeni C[a,b].

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../i/l/o/Iloczyn_skalarny.html"

Kategorie: Geometria • Algebra liniowa

We provide Linux to the World

Iloczyn skalarny

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Różne konwencje

[edytuj] Podstawowe własności

[edytuj] Norma a iloczyn skalarny

[edytuj] Inne własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach