Nabla
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[editar] Definición
En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial representado por el símbolo :(nabla).
En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:
siendo ,
y
los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por
,
,
.
[editar] Expresión en otros sistemas de coordenadas
Cuando se emplean sistemas de coordenadas diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse. En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, en la expresión aparecen los factores de escala:
En particular, para coordenadas cilíndricas () resulta
y para coordenadas esféricas ()
El símbolo ∇ fue utilizado por primera vez por William Rowan Hamilton.
[editar] Operador nabla en variedades diferenciales
Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que de lugar a una derivada covariante se define el operador nabla como aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad. Fijada un sistema de coordenadas local se expresa como:
[editar] Aplicaciones del operador nabla
Este operador puede aplicarse a campos escalares (φ) o a campos vectoriales F, dando:
• Gradiente: • Divergencia: • Rotacional: • Laplaciano:
[editar] Definición intrínseca
Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:
En la expresión anterios representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y A es un campo escalar, vectorial o tensorial. ΔV es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.
[editar] Álgebra del operador ∇
Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las fórmulas más importantes son:
[editar] Véase también
[editar] Bibliografía avanzada
- Div, Grad, Curl, and All That, H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5
- Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Calculus (Aug. 30, 2004).
- Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).