Verzamelingenleer

De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde.

De verzamelingenleer werd door de Duitse wiskundige Georg Cantor ontwikkeld aan het eind van de 19e eeuw.

[bewerk] Betekenis van de verzamelingenleer

In de wiskunde werden vaak stellingen geformuleerd en bewezen, die uitspraken over eigenschappen van zaken deden, zonder precies te definiëren voor welke zaken die uitspraken golden. Neem bijvoorbeeld de meetkunde.

In de meetkunde worden stellingen geformuleerd over onder andere punten en lijnen, maar geen van beide worden gedefinieerd.

Een ander voorbeeld komt uit de rekenkunde.

Als je van tien munten er drie weghaalt, hou je er zeven over. De rekenkunde leert nu, "Als je van tien van iets er drie weghaalt, hou je zeven van dat iets over" - zonder te definiëren wat dat 'iets' kan zijn.

Een laatste voorbeeld, met worteltrekken:

Volgens de ene definitie is worteltrekken uit een negatief getal niet mogelijk, volgens de andere is het wel mogelijk, en levert dat een complex getal op.

Cantor ontdekte dat theorieën over wiskundige bewerkingen aan duidelijkheid wonnen, door te spreken van "de verzameling van zaken waarvoor een stelling geldt". Het kan dan bijvoorbeeld gaan om de verzameling van gehele getallen of de verzameling van rationale getallen.

Zo kan voor de verzameling van gehele getallen gezegd worden, dat elf niet deelbaar is door vier, omdat je dan een rest overhoudt.

In de verzameling van rationale getallen, is elf wèl deelbaar door vier. Dan levert dit 2¾.

De verzamelingenleer kent basisbegrippen als:

deelverzameling
doorsnee en vereniging van twee verzamelingen
lege verzameling

(In het artikel Verzameling (wiskunde) staat hier meer over).

Door middel van de verzamelingenleer kan men bijvoorbeeld afleiden:

"Als de verzameling van gehele getallen een deelverzameling van de rationale getallen is, en een bepaalde uitspraak geldt voor alle rationale getallen, dan geldt die uitspraak voor alle gehele getallen."

De verzamelingenleer kreeg al in het begin van de 20e eeuw de positie van basistheorie, een theorie die de basis voor het wiskundig bouwwerk vormde. Zo worden alle begrippen als natuurlijke getallen en functies gedefinieerd op basis van verzamelingen.

Initieel werd de theorie echter als controversieel beschouwd. In zijn oorspronkelijke versie bleek de theorie namelijk tot een aantal ongerijmdheden te leiden. Deze versie, die tegenwoordig de intuïtieve verzamelingenleer wordt genoemd, is later vervangen door de formele verzamelingenleer, die een iets strengere definitie van het begrip verzameling gebruikt.

[bewerk] Intuïtieve verzamelingenleer

De intuïtieve verzamelingenleer is de oorspronkelijke versie van de verzamelingenleer, zoals Georg Cantor die had ontwikkeld.

Deze intuïtieve verzamelingenleer gaat uit van de regel, dat

"voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A".

Met deze regel kan bijvoorbeeld de verzameling van alle blauwgekleurde dingen gedefinieerd worden.

Het was met dit verzamelingbegrip reeds wel mogelijk om bestaande wiskundige theorieën van een nieuwe formulering te voorzien, maar bij het verder uitwerken van deze leer, bleek het intuïtieve verzamelingbegrip aanleiding te geven tot een aantal paradoxen, waarvan hier enkele beschreven worden.

[bewerk] De catalogusparadox

Dit is een van de bekendste paradoxen uit de verzamelingenleer. Ze werd voor het eerst uitgedacht door Bertrand Russell. Om de paradox uit te leggen wordt vaak het volgende voorbeeld gebruikt: Een bibliothecaris vindt op een goede dag in een hoekje van zijn bibliotheek een grote stapel catalogi. Sommige van deze catalogi vermelden zichzelf, terwijl anderen dat niet doen. Voor het gemak maakt hij twee nieuwe catalogi: een eerste catalogus A die alle catalogi vermeldt die zichzelf vermelden, en een tweede catalogus B die alleen de catalogi vermeldt die zichzelf niet vermelden. Natuurlijk zorgt hij ervoor dat ook catalogus A zichzelf vermeldt.

Moet catalogus B zichzelf nu opnemen of niet? Als hij zichzelf opneemt, mag hij per definitie niet opgenomen worden omdat hij al in zichzelf opgenomen is. Als hij zichzelf niet opneemt, moet hij per definitie opgenomen worden, omdat hij zichzelf niet vermeldt! Deze paradox toont aan dat er niet voor elk logisch probleem een wiskundige oplossing bestaat.

[bewerk] De paradox van de barbier van Sevilla

Een andere vorm van de catalogusparadox is de barbier van Sevilla. In de Middeleeuwen had de barbier van Sevilla een uithangbord: "Ik scheer alle mannen die niet zich zelf scheren". Hij wist echter geen antwoord toen iemand hem vroeg: en scheert u uzelf of niet? Met andere woorden, gegeven de verzameling van alle mannen die zichzelf niet scheren, behoort de barbier tot deze verzameling?

Soms wordt gegrapt dat de barbier een vrouw is, waardoor de paradox vermeden wordt.

[bewerk] Russellparadox

In de intuïtieve verzamelingenleer kan een vergelijkbare paradox gecreëerd worden door 'de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten'. Dit heet de Russellparadox.

[bewerk] Formele verzamelingenleer

De formele verzamelingenleer lost de paradoxen uit de intuïtieve verzamelingenleer op door de regel te laten vallen dat

"voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A",

en deze te vervangen door

"voor elke verzameling V en eigenschap A bestaat de verzameling van alle elementen van V die eigenschap A hebben".

Deze regel wordt gecombineerd met een aantal andere regels, zoals

"voor elke verzameling V bestaat de verzameling van alle deelverzamelingen van V".

Deze formulering laat de resultaten, die met de intuïtieve verzamelingenleer behaald waren, volledig in stand. Zo kunnen op deze wijze alle verzamelingen die daadwerkelijk in de wiskunde en logica gebruikt worden geconstrueerd worden, terwijl bovenstaande paradoxen en andere problematische verzamelingen (zoals de verzameling van alle verzamelingen, die volgens het diagonaalbewijs van Cantor kleiner dan een deel van zichzelf moet zijn) worden vermeden.

Zie ook