Teoría de conjuntos

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La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.

Tabla de contenidos

1 Conceptos básicos
2 Notación
- 2.1 Complemento de un conjunto
3 Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
- 3.1 Igualdad de conjuntos
- 3.2 Subconjuntos y Superconjuntos
4 Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.
5 Álgebra de conjuntos

[editar] Conceptos básicos

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Hay un conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), que es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando, así si hablamos de números enteros, U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en las mayoría de los casos se da por supuesto, dado el contexto que estemos tratando.

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, que lo representaremos por $A c$ o A’. El conjunto complemento es respecto al conjunto universal de los conjuntos que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minuscula: a, b, k,...

[editar] Notación

Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si $~A$ es un conjunto, y $~a, b, c, d, e$ todos sus elementos, es común escribir:

$~A= \{a, b, c, d, e\}$ (1)

para definir a tal conjunto $~A$ . La notación empleada en (1) para definir al conjunto $~A$ se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento $~x$ pertenece a un conjunto $~A$ , escribimos $x\in A$ (léase $~x$ en $~A$ o bien $~x$ pertenece a $~A$ ). La negación de $x\in A$ se escribe $x\notin A$ (léase $~x$ no pertenece a $~A$ ).

Si todos los elementos $~x$ de un conjunto $~A$ satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición $p\left( x\right)$ , con la indeterminada $~x$ , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

$~A= \{x:p\left(x\right)\}$

A es el conjunto de elementos x, que cumplen p(x), donde el símbolo : se lee "se cumple que", y puede ser remplazado por una barra $\mid$ "tal que".

Por ejemplo, el conjunto $~A= \{1, 2, 3, 4\}$ puede definirse por:

$~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\}$ .

El símbolo $\mathbb{N}$ representa al conjunto de los números naturales.

[editar] Complemento de un conjunto

Dado un conjunto $~A$ , se representa por $~A'$ al complemento de $~A$ , el cual es un conjunto que verifica la proposición: $x\in A'\qquad\Leftrightarrow\qquad x\notin A$

para cualquiera que sea el elemento $~x$ . Así pues, $~A'$ está formado por todos los elementos que no son del conjunto $~A$ .

[editar] Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

[editar] Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos $~A$ y $~B$ se dicen iguales, lo que se escribe $~A = B$ si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento $~x$ , se verifique

$x\in A\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in B$

[editar] Subconjuntos y Superconjuntos

Un conjunto $~B$ se dice subconjunto de otro $~A$ , si todo elemento de $~A$ es también elemento de $~B$ , es decir, cuando se verifique:

$x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B$ ,

sea cual sea el elemento $~x$ . En tal caso, se escribe $A\subseteq B$ .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $A\subseteq B$ , se cumpla $A = B$ . Si $~A$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $~B$ , pero si todo elemento de $~A$ es elemento de $~B$ , entonces decimos que $~A$ es un subconjunto propio de $~B$ , lo que se representa por $A\subset B$ .

Si $~A$ es un subconjunto de $~B$ , decimos también que $~B$ es un superconjunto de $~A$ , lo que se escribe $B\supseteq A$ . Así pues

$B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B$ ,

y también que: $B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B$ ,

significando $B\supset A$ que $~B$ es superconjunto propio de $~A$ .

Por el principio de identidad, es siempre cierto $x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A$ , para todo elemento $~x$ , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que $\subseteq$ es una relación de orden sobre un conjunto $~S$ de conjuntos, pues

$A\subseteq A$			$\subseteq$ es reflexiva.
$A\subseteq B\wedge B\subseteq A$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A=B \,$	$\subseteq$ es antisimétrica
$A\subseteq B\wedge B\subseteq C$	$\qquad\Rightarrow\qquad$	$A\subseteq C$	$\subseteq$ es transitiva

[editar] Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos.

[editar] Unión

Los elementos que pertenecen a $~A$ o a $~B$ o a ambos $~A$ y $~B$ , forman otro conjunto, llamado unión de $~A$ y $~B$ , escrito $A\cup B$ . Así pues, se tiene que:

$A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\}$ .

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$A\cup C = \{2, 4, 6, 10, 14, 16, 26\}$

[editar] Intersección

Los elementos comunes entre $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ :

$A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cap B = \{4, 6\}$

$A\cap C = \emptyset$

[editar] Diferencia

Los elementos de un conjunto $~B$ que no se encuentran en otro conjunto $~A$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~B$ y $~A$ , representado por, $~B-A$ :

$B-A= \{x:x\in B\quad\wedge\quad x\notin A\}$ .

Vemos que:

$x\in \left (B-A\right) \Leftrightarrow x\in B \wedge x\notin A \Leftrightarrow \ x\in B \wedge x\in A'$

$x\in \left (B-A\right) \Leftrightarrow x\in \left (B\cap A'\right )$ ,

de manera que

$B-A = B\cap A'$ . Pero también

$x\in \left (B\cap A'\right ) \Leftrightarrow x\in B \wedge x\in A' \Leftrightarrow x\in A' \wedge \ x\in B$

$\Leftrightarrow x\in A' \wedge x\notin B' \Leftrightarrow x \in\left (A'-B'\right )$ ,

de modo que

$~B-A = A'-B'$

[editar] Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

$B\Delta A = \left (B-A\right )\cup\left (A-B\right )$

[editar] Álgebra de conjuntos

Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:

A ∩ A = A
A ∪ A = A
A - A = Ø
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
(B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
(B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
A ⊆ B ↔ A - B = Ø
A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
A ∩ Ø = Ø
A ∪ Ø = A
Ø - A = Ø
A - Ø = A

Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:

A'' = A
B - A = A' ∩ B
(B - A)' = A ∪ B'
A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
A ∩ U = A
A ∪ U = U
U - A = A'
A - U = Ø

[editar] Distributividad entre unión e intersección

Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole. ...

[editar] Producto cartesiano de conjuntos

Un par de números $\left (x, y\right )$ se dice ordenado si los pares $\left (x, y\right )$ y $\left (y, x\right )$ son uno mismo si y solo si $~x = y$ .

Dados dos conjuntos $~A$ y $~B$ , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de $~A$ y $~B$ (en ese orden), representado por $~A\times B$ , como el conjunto

$~A\times B = \{(x,y)\mid\quad x\in A\quad\wedge\quad y\in B\}$

Ejemplo: Sean $~S = \{1, 2, 3\}$ y $~R = \{a, b, c\}$ . Así,

$~S\times R = \{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)\}$

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

$~A\times B = B\times A\qquad\Leftrightarrow\qquad A = B$

[editar] Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por $\forall$ . Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe

$\mathop{\forall}_{x\in A}\quad p(x)$ . (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de

$\{x\in A\mid\quad p(x)\}\ = A$

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto $~A$ cumple con una propiedad. Se escribe

$\exist_{x\in A}\quad p(x)$ . (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición

$\{x\in A\mid\quad p(x)\}\neq\emptyset$

Se definen

$\neg(\forall_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\exist_{x\in A}\quad\neg p(x)$

$\neg(\exist_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\forall_{x\in A}\quad\neg p(x)$

[editar] Aplicaciones

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos. Un subconjunto $f\subset A\times B$ , se dice aplicación de $~A$ en $~B$ , lo que se representa por

$f:\quad A\rightarrow B$

siempre que se verifiquen

$\forall_{x\in A},\quad\exist_{y\in B},\quad (x,y)\in f$

$(x,y)\in f\quad\wedge\quad (x,y')\in f\qquad\Rightarrow\qquad y=y'$

Si $(x,y)\in f$ , el elemento $~y$ se dice imagen de $~x$ por $~f$ , y el elemento $~x$ se llama antecedente de $~y$ por $~f$ .

Sea una aplicación $f:\quad A\rightarrow B$ . Se emplea la notación $~f(x)$ para representar a la imagen de $x\in A$ por $~f$ , y por tanto $f(x)\in B$ .