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Teoría de conjuntos - Wikipedia, la enciclopedia libre

Teoría de conjuntos

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.

Tabla de contenidos

[editar] Conceptos básicos

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Hay un conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), que es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando, así si hablamos de números enteros, U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en las mayoría de los casos se da por supuesto, dado el contexto que estemos tratando.

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, que lo representaremos por Ac o A’. El conjunto complemento es respecto al conjunto universal de los conjuntos que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minuscula: a, b, k,...

[editar] Notación

Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si ~A es un conjunto, y ~a, b, c, d, e todos sus elementos, es común escribir:

~A= \{a, b, c, d, e\} (1)

para definir a tal conjunto ~A. La notación empleada en (1) para definir al conjunto ~A se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento ~x pertenece a un conjunto ~A, escribimos x\in A (léase ~x en ~A o bien ~x pertenece a ~A). La negación de x\in A se escribe x\notin A (léase ~x no pertenece a ~A).

Si todos los elementos ~x de un conjunto ~A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p\left( x\right), con la indeterminada ~x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

~A= \{x:p\left(x\right)\}
A es el conjunto de elementos x, que cumplen p(x), donde el símbolo : se lee "se cumple que", y puede ser remplazado por una barra \mid "tal que".

Por ejemplo, el conjunto ~A= \{1, 2, 3, 4\} puede definirse por:

~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\}.

El símbolo \mathbb{N} representa al conjunto de los números naturales.

[editar] Complemento de un conjunto

Dado un conjunto ~A, se representa por ~A' al complemento de ~A, el cual es un conjunto que verifica la proposición: x\in A'\qquad\Leftrightarrow\qquad x\notin A

para cualquiera que sea el elemento ~x. Así pues, ~A' está formado por todos los elementos que no son del conjunto ~A.

[editar] Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

[editar] Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos ~A y ~B se dicen iguales, lo que se escribe ~A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento ~x, se verifique

x\in A\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in B

[editar] Subconjuntos y Superconjuntos

Un conjunto ~B se dice subconjunto de otro ~A, si todo elemento de ~A es también elemento de ~B, es decir, cuando se verifique:

x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B,

sea cual sea el elemento ~x. En tal caso, se escribe A\subseteq B.

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A\subseteq B, se cumpla A = B. Si ~A tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto ~B, pero si todo elemento de ~A es elemento de ~B, entonces decimos que ~A es un subconjunto propio de ~B, lo que se representa por A\subset B.

Si ~A es un subconjunto de ~B, decimos también que ~B es un superconjunto de ~A, lo que se escribe B\supseteq A. Así pues

B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B,

y también que: B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B,

significando B\supset A que ~B es superconjunto propio de ~A.

Por el principio de identidad, es siempre cierto x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A, para todo elemento ~x, por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que \subseteq es una relación de orden sobre un conjunto ~S de conjuntos, pues

A\subseteq A \subseteq es reflexiva.
A\subseteq B\wedge B\subseteq A \qquad\Rightarrow\qquad A=B \, \subseteq es antisimétrica
A\subseteq B\wedge B\subseteq C \qquad\Rightarrow\qquad A\subseteq C \subseteq es transitiva

[editar] Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.

Sean ~A y ~B dos conjuntos.

[editar] Unión

Los elementos que pertenecen a ~A o a ~B o a ambos ~A y ~B, forman otro conjunto, llamado unión de ~A y ~B, escrito A\cup B. Así pues, se tiene que:

A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\}.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

~A= \{2, 4, 6\}
~B= \{4, 6, 8, 10\}
~C= \{10, 14, 16, 26\}

Entonces:

A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\}
A\cup C = \{2, 4, 6, 10, 14, 16, 26\}

[editar] Intersección

Los elementos comunes entre ~A y ~B forman un conjunto denominado intersección de ~A y ~B, representado por A\cap B:

A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}.

Si dos conjuntos ~A y ~B son tales que A\cap B =\emptyset, entonces ~A y ~B se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

~A= \{2, 4, 6\}
~B= \{4, 6, 8, 10\}
~C= \{10, 14, 16, 26\}

Entonces:

A\cap B = \{4, 6\}
A\cap C = \emptyset

[editar] Diferencia

Los elementos de un conjunto ~B que no se encuentran en otro conjunto ~A, forman otro conjunto llamado diferencia de ~B y ~A, representado por, ~B-A:

B-A= \{x:x\in B\quad\wedge\quad x\notin A\}.

Vemos que:

x\in \left (B-A\right) \Leftrightarrow x\in B \wedge  x\notin A \Leftrightarrow \ x\in B \wedge x\in A'
x\in \left (B-A\right) \Leftrightarrow x\in \left (B\cap A'\right ),

de manera que

B-A = B\cap A'. Pero también
x\in \left (B\cap A'\right ) \Leftrightarrow x\in B \wedge x\in A' \Leftrightarrow x\in A' \wedge \ x\in B
\Leftrightarrow  x\in A' \wedge  x\notin B' \Leftrightarrow  x \in\left (A'-B'\right ),

de modo que

~B-A = A'-B'

[editar] Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

B\Delta A = \left (B-A\right )\cup\left (A-B\right )

[editar] Álgebra de conjuntos

Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:

  • A ∩ A = A
  • A ∪ A = A
  • A - A = Ø
  • A ∩ B = B ∩ A
  • A ∪ B = B ∪ A
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
  • C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
  • C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
  • (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
  • (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
  • A ⊆ B A ∩ B = A
  • A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
  • A ⊆ B ↔ A - B = Ø
  • A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
  • A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
  • A ∩ Ø = Ø
  • A ∪ Ø = A
  • Ø - A = Ø
  • A - Ø = A

Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de U (se utiliza la notación A' := U - A). Entonces:

  • A'' = A
  • B - A = A' ∩ B
  • (B - A)' = A ∪ B'
  • A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
  • A ∩ U = A
  • A ∪ U = U
  • U - A = A'
  • A - U = Ø

[editar] Distributividad entre unión e intersección

Sean tres conjuntos A, B y C. Se cumple que:

  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole. ...

[editar] Producto cartesiano de conjuntos

Un par de números \left (x, y\right ) se dice ordenado si los pares \left (x, y\right ) y \left (y, x\right ) son uno mismo si y solo si ~x = y.

Dados dos conjuntos ~A y ~B, definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de ~A y ~B (en ese orden), representado por ~A\times B, como el conjunto

~A\times B = \{(x,y)\mid\quad x\in A\quad\wedge\quad y\in B\}
Ejemplo
Sean ~S = \{1, 2, 3\} y ~R = \{a, b, c\}. Así,
~S\times R = \{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)\}

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

~A\times B = B\times A\qquad\Leftrightarrow\qquad A = B

[editar] Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

El cuantificador universal, representado por \forall. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe
\mathop{\forall}_{x\in A}\quad p(x). (1)

La proposición (1) suele usarse como la equivalente de

\{x\in A\mid\quad p(x)\}\ = A

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto ~A cumple con una propiedad. Se escribe
\exist_{x\in A}\quad p(x). (2)

La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición

\{x\in A\mid\quad p(x)\}\neq\emptyset

Se definen

\neg(\forall_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\exist_{x\in A}\quad\neg p(x)
\neg(\exist_{x\in A}\quad p(x))\qquad\Leftrightarrow\qquad\forall_{x\in A}\quad\neg p(x)

[editar] Aplicaciones

Sean ~A y ~B dos conjuntos. Un subconjunto f\subset A\times B, se dice aplicación de ~A en ~B, lo que se representa por

f:\quad A\rightarrow B

siempre que se verifiquen

\forall_{x\in A},\quad\exist_{y\in B},\quad (x,y)\in f
(x,y)\in f\quad\wedge\quad (x,y')\in f\qquad\Rightarrow\qquad y=y'

Si (x,y)\in f, el elemento ~y se dice imagen de ~x por ~f, y el elemento ~x se llama antecedente de ~y por ~f.

Sea una aplicación f:\quad A\rightarrow B. Se emplea la notación ~f(x) para representar a la imagen de x\in A por ~f, y por tanto f(x)\in B.

Sean las aplicaciones f:\, x\rightarrow\ f(x) y g: y\rightarrow g(x). Se define

f\circ g:\quad x\rightarrow f(g(x)),

y se dice que f\circ g es el producto de composición de las aplicaciones ~f y ~g.

Vemos que f\circ (g\circ h)(x)=(g\circ h)(f(x))=h\left [g(f(x))\right ],

y

\left [(f\circ g)\circ h\right ](x)=h\left [ (f\circ g)(x)\right ]=h\left [g(f(x))\right ],

por lo que

f(g\circ h)=(f\circ g)\circ h

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