Topologie
De topologie is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die bewaard blijven bij het vervormen (zonder scheuren of plakken) ervan. In allerlei andere deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde en algebra, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van ideeën en stellingen uit de topologie. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer heeft belangrijke bijdragen geleverd aan de moderne topologie.
[bewerk] Inleiding
In de topologie zijn de objecten die bestudeerd worden topologische ruimten. Een topologische ruimte is een verzameling X voorzien van een collectie deelverzamelingen van X, open verzamelingen geheten, die aan een aantal axioma's voldoen. Deze collectie wordt overigens ook de topologie van X genoemd. Verder worden continue afbeeldingen gedefinieerd, evenals begrippen als compactheid en samenhangendheid. Een ander belangrijk begrip is dat van een homeomorfisme; dit is een continue afbeelding die inverteerbaar (bijectief) is en waarvan de inverse ook continu is. Als er tussen twee topologische ruimten X en Y een homeomorfisme bestaat, zijn X en Y 'hetzelfde' in de zin dat ze tot elkaar vervormd kunnen worden zonder scheuren of plakken.
De algemene topologie bestudeert elementaire eigenschappen van topologische ruimten en de afbeeldingen daartussen. De algebraïsche topologie bouwt hierop voort door technieken uit de algebra toe te passen op topologische ruimten, wat leidt tot begrippen als de fundamentaalgroep en homologiegroepen van een topologische ruimte.
[bewerk] Voorbeelden
Zie het artikel over topologische ruimten voor voorbeelden hiervan. Voorbeelden van resultaten uit de algemene topologie zijn:
- Een deelverzameling van Rn is compact dan en slechts dan als hij gesloten en begrensd is (de stelling van Heine-Borel).
- Het beeld van een compacte ruimte onder een continue afbeelding is compact.
- Een compacte deelverzameling van een Hausdorffruimte is gesloten.
- Elke rij punten in een compacte metrische ruimte heeft een convergente deelrij.
- Elk interval in R is samenhangend.
- Het beeld van een samenhangende ruimte onder een continue afbeelding is samenhangend.
- Op een tennisbal is er altijd minstens één kruin. Of equivalent: er is altijd minstens één plek op aarde waar het windstil is.
[bewerk] Ruimtelijke informatie
Binnen Geografische informatiesystemen wordt topologie als begrip gebruikt voor de ruimtelijke relaties tussen elementen of objecten (bijvoorbeeld punten, lijnen en polygonen). Hierbij wordt niet specifiek gerefereerd aan x en y coördinanten.
 |
|
wiskunde | algebra | lineaire algebra | meetkunde | goniometrie | rekenkunde | integraalrekening | getaltheorie | speltheorie | groepentheorie | verzamelingenleer | statistiek | kansrekening | topologie |
