Joukko-oppi

Wikipedia

Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Venn-diagrammeilla.

Joukko-opin perustaja Georg Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Intuitiivisesti tämä määritelmä toimii useimmiten edelleen, vaikka joukon formaali määritteleminen osoittautui myöhemmin monimutkaisemmaksi. Näitä objekteja kutsutaan joukon alkioiksi, ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Oleellista on tietää mistä tahansa objektista kuuluuko se tiettyyn joukkoon vai ei.

Joukon käsite on nykyisin tärkeä kaikilla matematiikan alueilla. Matemaattisesti tärkeimpiä ovat niin sanotut lukujoukot, joiden alkiot ovat lukuja.

Joukot voidaan esittää luettelomuodossa tai tietyn säännön avulla. Lisäksi joukko voi olla päättyvä tai päättymätön, eli äärellinen tai ääretön.

Joukoissa ei alkioiden järjestyksellä ole merkitystä, toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen tapauksessa.

Joukko-oppi jaetaan yleisesti naiviin joukko-oppiin ja aksiomaattiseen joukko-oppiin. Aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen vaikutti Russellin paradoksi, joka osoitti ettei joukkoa voi määritellä yksinkertaisesti alkioiden kokoelmaksi ja kaatoi täten naiivin joukko-opin.

Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi. Esimerkiksi sigma-algebra on joukkoperhe.

[muokkaa] Esimerkkejä

Lukujen 1 ja 10 välillä olevien alkulukujen joukko on {2, 3, 5, 7}.
Luonnollisten lukujen joukko, {0, 1, 2, 3, ...} tai {1, 2, 3, ...} määritelmästä riippuen, on ääretön lukujoukko.
Parillisten luonnollisten lukujen joukko on {0, 2, 4, 6, 8, ...} tai {2, 4, 6, 8, ...}.
Päävärien muodostama joukko on {punainen, keltainen, sininen}.

[muokkaa] Avoin joukko

Pääartikkeli: Avoin joukko

Joukon A osajoukko B on avoin joukko, jos jokaisella B:n pisteellä on ympäristö, joka sisältyy B:hen.

[muokkaa] Lisämääritelmiä

Operaatioita:

Unioni eli yhdiste
Leikkaus_(matematiikka)
Joukkoerotus
Karteesinen tulo
DeMorganin lait
Potenssijoukko

Joukkoihin liittyviä symboleita

Symboli	Miten luetaan?	Määritelmä
$\in$ $\not\in$	$a \in A$ "alkio a kuuluu joukkoon A" $a \not\in A$ "alkio a ei kuulu joukkoon A"
$\subset$ $\subseteq$	$B \subset A$ "joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään $B \subseteq A$ . $B \subset A$ "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta B ≠ A)".	$B \subset A$ , kun kaikilla $b \in B$ pätee $b \in A$ , ts. $\forall b \in B: b \in B \Rightarrow b \in A$
=	A = B "Joukot A ja B ovat samat"	A = B jos ja vain jos $A \subset B$ ja $B \subset A$ .
$\cup$	$A \cup B$ "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste"	$A \cup B$ = $\{x \in E \| x \in A \vee x \in B\}$ = {Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko} (Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)
$\cap$	$A \cap B$ "A leikkaus B"	$A \cap B$ = $\{x \in E \| x \in A\ \wedge x \in B\}$ = {Joukkojen A ja B yhteiset alkiot}
\	A \ B "A miinus B"	A \ B = $\{x \in E \| x \in A \wedge x \not\in B\}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B}
A^c	A^c "A:n komplementti"	A^c = $\{x \in E \| x \not\in A\}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A}
$\mathcal{P}(A)$	$\mathcal{P}(A)$ "A:n potenssijoukko"	$\mathcal{P}(A)$ = {Kaikki A:n osajoukot}