Russellparadox
De paradox van Russell is een paradox over verzamelingen waarvan de elementen zelf ook weer verzamelingen zijn. In essentie zegt het dat de "verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" een paradox is. Rond 1900 veroorzaakte het een schok in de wereld van de fundamenten van de wiskunde.
Inhoud |
[bewerk] Beschrijving van de paradox
[bewerk] Verzamelingen die zichzelf niet resp. wel bevatten
In de paradox gaat het om verzamelingen waarvan de elementen op zichzelf ook weer een verzameling zijn.
Een voorbeeld van een dergelijke verzameling is de verzameling BV, bestaande uit bloemenverzamelingen:
BV = {tulpenverzameling, hyacintenverzameling, rozenverzameling, narcissenverzameling, ...}.
Alle elementen van BV zijn zelf ook weer verzamelingen.
Het blijkt dat BV de volgende eigenschap bezit: 
.
Met andere woorden: BV is zelf geen element van BV; immers een verzameling bestaande uit bloemenverzamelingen is zelf een verzamelingenverzameling, en dus geen bloemenverzameling.
Maar we zouden ook verzamelingen kunnen bedenken die wel zichzelf bevatten, bijvoorbeeld de verzameling van alle verzamelingen.
[bewerk] De Russellverzameling
Er zijn dus verzamelingen die zichzelf bevatten en verzamelingen die zichzelf niet bevatten. We willen het nu hebben over de verzameling die bestaat uit alle verzamelingen V die niet zichzelf bevatten, deze heet de Russell-verzameling R.
Ten eerste stellen we vast dat R niet de lege verzameling is: immers BV bevat zichzelf niet, en is dus wel een element van R.
Nu stellen wij ons de volgende vraag: geldt er dat 
?
Laten we eens aannemen dat het antwoord 'ja' is. In dat geval voldoet R niet aan de eigenschappen die alle elementen van R bezitten (
), en geldt er dus dat 
. Maar dan is het antwoord dus geen 'ja', maar 'nee'!
De aanname dat het antwoord 'ja' is leidt dus tot de conclusie dat het antwoord 'nee' is; dus 'ja' is kennelijk niet het correcte antwoord op de vraag.
Nemen we daarom eens aan dat 'nee' het correcte antwoord is op de vraag, dus er geldt niet dat
Dat betekent dus dat , dus R voldoet aan de eigenschap die geldt voor de elementen van R. Dit betekent echter dat , dus dat 'ja' het correcte antwoord op de vraag is.
De aanname dat het antwoord 'nee' is, leidt dus tot conclusie dat het antwoord 'ja' moet zijn.
We zien dat onjuist is, maar dat ook onjuist is. We hebben dus een verzameling geconstrueerd waarvan het zowel onmogelijk is dat een bepaald object er wel in zit als dat het er niet in zit. Hierdoor is er een paradox geconstrueerd: de paradox van Russell.
[bewerk] Verband met Cantor
De paradox van Russell is sterk verbonden met het diagonaalbewijs van Cantor: Dat had aangetoond dat voor alle verzamelingen de verzameling van alle deelverzamelingen groter is. Stel dat we dit op de verzameling van alle verzamelingen willen toepassen. Als we de deelverzamelingen hiervan nemen, krijgen we de verzameling van alle verzamelingsverzamelingen. Maar dit is zelf een deelverzameling van de verzameling van alle verzamelingen. Paradox. Als we hier het bewijs van Cantor willen toepassen om te bewijzen dat het desondanks groter is, is de Russellverzameling de verzameling waarvan we 'aantonen' dat het niet in de verzameling van alle verzamelingen zit. Men kan de moeilijkheid die volgt uit het begrip 'verzameling van alle verzamelingen'vermijden door een onderscheid te maken tussen klassen en verzamelingen. Een klasse wordt in het bijzonder een verzameling genoemd indien ze zelf element kan zijn van een andere klasse. Aldus is de 'verzameling van alle verzamelingen ' een klasse en geen verzameling.
[bewerk] Oplossing van de paradox
De paradox van Russell toonde aan dat er iets ernstig mis was met de verzamelingenleer zoals die rond de eeuwwisseling (van de 19e op de 20e eeuw) bekend was. Om de paradox van Russell op te lossen, werden de axioma's veranderd. In het bijzonder werd het volgende axioma, dat tot dan toe werd aangenomen, verworpen:
- Voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A
In plaats daarvan kwamen regels zoals:
- Voor elke verzameling V bestaat de verzameling van alle deelverzamelingen van V
- Voor elke verzameling V en elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle elementen in V met eigenschap A
Deze regels zijn nu opgesteld zodat alle verzamelingen die in de wiskundige praktijk voorkomen door de axioma's gedefinieerd worden, maar paradoxale verzamelingen zoals de verzameling van alle verzamelingen en de Russellverzameling niet.
[bewerk] Varianten van deze paradox
Varianten van de paradox van Russell, die ogenschijnlijk binnen een ander gebied liggen maar in essentie neerkomen op dezelfde paradox, zijn:
