Praštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Práštevílo je naravno število n > 1, če ima natanko dva pozitivna delitelja (faktorja), število 1 in samega sebe kot edini prafaktor. Pri tem je 1 edini pravi delitelj tega števila. Po definiciji število 1 ne more biti praštevilo, saj sta tukaj oba 'njegova' pozitivna delitelja v bistvu enaka (faktor in prafaktor) in celo enaka številu samemu. Zato praštevilo tudi nima faktorjev. Število 2 je po definiciji edino praštevilo, ki je tudi zelo sestavljeno število in hkrati edino sodo praštevilo.

Množica prvih 25 pozitivnih praštevil je (OEIS A000040):

P₂₅ = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 }.

To je ena od definicij.

Celo število večje od 1, ki ni praštevilo, je sestavljeno število. Število 1 tudi ni sestavljeno število.

[uredi] Predstavitev naravnih števil

Pomemben rezultat je osnovni izrek aritmetike, po katerem lahko vsako naravno število zapišemo kot produkt praštevil na natanko en način. S tem so praštevila »osnovni gradniki« naravnih števil. Lahko, na primer zapišemo:

23244 = 2² · 3 · 13 · 149.

[uredi] Množica praštevil

Obstaja neskončno mnogo praštevil. Najstarejši dokaz za to je podal grški matematik Evklid:

Privzemimo, da obstaja samo končno mnogo praštevil. Če zmnožimo vsa praštevila med seboj in prištejemo 1, bo imelo dobljeno število, pri deljenju s poljubnih praštevilom ostanek 1. Zatorej, ga ne moremo deliti s poljubnim praštevilom. To je protislovje, in tako mora biti zgornji privzetek, da obstaja samo končno mnogo praštevil, napačen.

Veliko matematikov je podalo svoje dokaze o številu praštevil, na primer Kummer, verjetno najbolj elegantnega, in Furstenberg s topološkimi prijemi.

Čeprav je skupno število praštevil neskončno, je še vedno veliko zanimivih vprašanj v zvezi z njimi. Na takšna in podobna vprašanja odgovarja praštevilski izrek.

Največje znano praštevilo (september 2006) je Mersennovo število: