Primtal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik .
Elementære talmængder
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$
Naturlige tal	$\mathbb{N}$ = { 1,2,3,...}
Heltal	$\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal	$\mathbb{Q}$ = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal	$\mathbb{R}$ = $\{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}$
Komplekse tal	$\mathbb{C}$ = $\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$
Andre elementære talmængder
Primtal	$\mathbb{P}$ = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal	$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal	$\mathbb{T}\mathrm{r}$
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal	R^1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner	$\mathbb{H}$ = { a+bi+cj+dk \| a,b,c,d ∈ R }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal	{} størrelse, position {n}
Kardinaltal	{ $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig ∞
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Et primtal er et positivt heltal større end 1, som er deleligt alene med 1 og tallet selv, kaldet de trivielle divisorer.

Ethvert positivt heltal kan skrives som et produkt af primtal på entydig vis (når der ses bort fra rækkefølgen af primtallene). En sådan opskrivning kaldes tallets primfaktoropløsning og de indgående primtal kaldes tallets primfaktorer. F.eks. er 60 = 2² × 3 × 5. Det faktum at ethvert positivt helt tal entydigt kan skrives som et produkt af primfaktorer kaldes aritmetikkens fundamentalsætning.

Bemærk at 1 ikke er et primtal i definitionen ovenfor, da der jo netop af et primtal kræves, at det er større end 1. Man kunne godt have defineret 1 til at være et primtal, men det gør den videre udvikling af teorien mere besværlig, idet mange sætninger kun gælder for primtal større end eller lig 2. Det gælder for eksempel for den tidligere oplyste entydighed af primfaktoropløsninger. Hvis 1 var defineret til at være et primtal, ville fx 60 kunne skrives som et produkt af primtal på uendelig mange måder. Derfor er det naturligt at definere 1 til ikke at være et primtal.

Primtal studeres indenfor talteori og danner basis for mange krypteringsalgoritmer.

Her et udpluk af de første primtal:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

[redigér] Hvor mange primtal

Euklid beviste ca. 300 f.kr., at der findes uendeligt mange primtal. Beviset er et modstridsbevis, idet man antager at man kender alle primtal. Ganger man alle disse tal sammen og lægger en til, får man et tal, der enten er et ikke-kendt primtal eller som har en ikke kendt primfaktor (idet ingen af dem man kender jo kan gå op).

Flere matematikere har lavet andre beviser for at der er uendelig mange primtal, specielt har Euler vist, at summen af primtallenes reciprokke værdier ikke konvergerer, men går mod uendelig.

[redigér] Primtallenes fordeling

Mens det er let at indse, at der findes uendeligt mange primtal, er det straks langt sværere at få styr på hvordan primtallene fordeler sig. Hvis man betragter en liste over primtal (som den ovenfor), ser det ud til at være ganske "tilfældigt" og usystematisk hvornår det næste primtal vil dukke op. Men selvom fordelingen af primtallene er uregelmæssig på lille skala, dukker der en fornem regelmæssighed op når man betragter antallet af primtal i store områder.

antal primtal under 1.000:	168	(16,8 %)
antal primtal under 1.000.000:	78.498	(7,8 %)
antal primtal under 1.000.000.000:	50.847.534	(5,1 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000:	37.607.912.018	(3,8 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000:	29.844.570.422.669	(3,0 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000:	24.739.954.287.740.860	(2,5 %)
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000.000:	21.127.269.486.018.731.928	(2,1 %)

Primtalssætningen (bevíst i 1896) giver en præcis beskrivelse af denne regelmæssighed. Antallet af primtal mindre end $x$ kan approksimeres med $x / (log x)$ , og den relative fejl ved denne approksimation bliver forsvindende når $x$ går mod uendelig. (Her betegner $log$ den naturlige logaritme.)

Det er stadig uafklaret hvor store udsving fra systematikken fra primtalssætningen der forekommer. Hvis Riemann-hypotesen er sand, er primtallenes fordeling populært sagt så ensartet som det er teoretisk muligt. Hvis Riemann-hypotesen mod forventning skulle vise sig at være falsk, ville der derimod igennem hele talrækken være forholdsvis store "bump" hvor tætheden af primtallene afveg mere fra den ideelle end den "behøvede".

[redigér] Største kendte primtal

Med fremkomsten af computere er der sket en kraftig udvikling i det største kendte primtal. Det største kendte primtal har næsten altid været af formen 2ⁿ-1, som kaldes mersennetal (bemærk at ikke alle tal på denne form er primtal!). I september 2006 er det største kendte primtal 2^32.582.657-1, det blev fundet den 4. september 2006 af GIMPS, som er en internetgruppe, der benytter overskydende computertid til at finde mersenneprimtal. Dette tal er på 9,808,358 decimale cifre.

[redigér] Forskellige slags primtal

Der findes mange specielle former for primtal, f.eks.:

Primtalstvillinger, det vil sige to primtal der ligge så tæt på hinanden som muligt (bortset fra eksemplet med 2 og 3 vil det sige at der er adskilt af to, f.eks. 5 og 7 eller 17 og 19).
Mersenneprimtal, primtal på formen $2 n - 1$ .
Fermatprimtal, primtal på formen $2^{2^n}+1$ .
Pythagoræiske primtal, primtal på formen 4n + 1.
Fakultetsprimtal, primtal på formen $n! \pm 1$

Af mere underholdende karakter er de såkaldte "James Bond primtal", der er primtal der ender med 007. De fire første er 7 (007), 4007, 6007 og 9007^[1]^[2].

[redigér] Ubesvarede spørgsmål

Ovennævnte Riemann-hypotese opfattes af de fleste som det vigtigste ubesvarede spørgsmål i matematikken.
Det vides ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger.
Goldbachs formodning siger, at ethvert lige heltal større end 2 kan skrives som summen af to primtal. Man har afprøvet denne formodning for meget store tal og har endnu ikke fundet noget modeksempel. Det vides imidlertid ikke om formodningen er sand. Den berømte indiske matematiker Ramanujan hævdede, at der eksisterer nogle høje primtal, som afviger fra Goldbachs Formodning. Hvis Golbachs Formodning bliver bevist, kan bevises have tre udfald: "1. Formodningen er sand. 2. Formodningen er falsk. 3. Formodningen er uløselig." Et kendt matematisk problem Kontinuumhypotesen blev i 1964 bevist af den amerikanske matematiker Paul Cohen. Han beviste, at kontinuumhypotesen var uløselig. Et andet kendt matematisk problem "Fermats sidste sætning" blev løst af den britiske matematiker Andrew Wiles i 1994. Han beviste, at sætningen var sand.

[redigér] Andre egenskaber

Ethvert primtal større end 3 har en "nabo" i 6-tabellen (fx er 5 nabo til 6, 11 er nabo til 12 o.s.v.). Dette kan man let vise ved at kigge på den rest et primtal må have ved division med 6. Det er let at se, at resten altid må være 1 eller 5, idet 0, 2 og 4 udelukkes af at 2 ellers ville gå op, mens 3 udelukkes af at 3 ville gå op, hvilket strider mod at tallet er et primtal større end 3.

Desuden har et primtal præcis to divisorer.

[redigér] Eksterne henvisninger

↑ Jens Ramskov, "Primtal: Fakta og Formodninger", Ingeniøren, nummer 47, 24. november 2006.
↑ David Wells, Primtal – Matematikkens gådefulde tal fra A-Ø, Nyt Teknisk Forlag, ISBN 87-571-2561-9

Hentet fra "http://da.wikipedia.org../../../p/r/i/Primtal.html"

Kategorier: Tal | Talteori

We provide Linux to the World