Théorème des deux carrés de Fermat

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Pierre de Fermat

En mathématiques, et plus précisemment en théorie des nombres, le théorème des deux carrés de Fermat, parfois appelé théorème des deux carrés, théorème de Fermat ou théorème de Fermat de Noël, s'énonce de la façon suivante : un nombre premier impair est somme de deux carrés de nombres entiers si et seulement s'il est congru à un modulo quatre.

Sommaire

1 Exemples et théorème
2 Histoire
3 Motivation
4 Démonstrations
5 Résultats connexes
- 5.1 Autres problèmes posés par Fermat
- 5.2 Généralisation à tous les entiers
6 Fonctions arithmétiques

[modifier] Exemples et théorème

On peut remarquer que les nombres premiers 5, 13, 17, 29, 37 et 41 sont tous sommes de deux carrés d'entiers, en effet :

$5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.$

En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne possèdent pas cette propriété. Le théorème des deux carrés de Fermat explicite cette situation:

Soit p un nombre premier impair, p est somme de deux carrés d'entiers si et seulement si p est congru à 1 modulo 4.

$\exists (x,y)\in \N^2 \quad /\quad p = x^2 + y^2\quad \iff \quad p\equiv 1 \pmod{4}\;ou\;p= 2\;$

[modifier] Histoire

Ce théorème est conjecturé par Pierre de Fermat (1601-1665) dans une lettre écrite à Marin Mersenne daté du 25 décembre 1640. Pour cette raison, on l'appelle parfois « théorème de Noël de Fermat ». Comme souvent chez Fermat, aucune preuve n'est donnée.

La première preuve est l'œuvre de Leonhard Euler (1707-1783). Elle est annoncée dans un lettre addressé à Christian Goldbach en 1749. Ce preuve s'obtient par une technique appelée descente infinie. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fournit une nouvelle preuve en 1775 à l'aide de ses travaux sur les formes quadratiques.

Les preuves modernes se fondent généralement sur l'anneau des entiers de Gauss. Elles sont en effet plus simples et plus naturelles. La preuve originale à l'aide de cet ensemble est l'œuvre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publiée en 1801. Richard Dedekind (1831-1916) propose deux preuves élégantes à l'aide des entiers de Gauss.

[modifier] Motivation

Carl Friedrich Gauss

Les équations diophantiennes ont, en général, fasciné les mathématiciens. Leur charme particulier, écrivait Gauss, vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. Cette remarque générale s'applique à ce théorème.

Les conjectures de Fermat ont parfois une propriété supplémentaire qui, à partir de XIX^e siècle les a rendu si célèbres. Leurs résolutions demande le développement d'outils féconds en mathématiques. Une partie non négligeable de la théorie des anneaux provient du désir de mieux comprendre les nombres entiers.

A la différence du grand théorème de Fermat le théorème des deux carrés n'est pas à l'origine d'un développement d'outil particulier. En revanche, il représente un magnifique exemple d'utilisations de méthodes souvent puissantes, et qui, chaque fois simplifie la démonstration.

Ce théorème comporte quelques applications, par exemple la recherche des nombres premiers de Gauss. La motivation principale, celle qui a amené de grands noms des mathématiques à publier des preuves, reste essentiellement l'aspect exemplaire de leurs démonstrations.

[modifier] Démonstrations

[modifier] Gauss et ses entiers

Voir l’article Entier de Gauss.

Illustration de la démonstration par les entiers de Gauss

Gauss propose une démonstration révolutionnaire en 1801 dans son traité Disquisitiones Arithmeticae. Il utilise pour cela les entiers qui portent maintenant son nom.

Un entier de Gauss z est un nombre complexe ayant ses parties réelle et imaginaire entières. Si z = a + i.b, on définit sa norme N(z) comme égale à a² + b². Elle correspond au carré de la distance du point origine. Graphiquement les entiers de Gauss sont les points du quadrillage de la figure de droite. Le théorème revient à trouver les intersections des cercles de centre l'origine et de rayon la racine carrée d'un nombre premier. La figure illustre le fait que 2, 5 et 13 ont des solutions, alors que 3, 7 et 11 n'en n'ont pas. Par exemple point le plus à droite de la figure illustre la solution 3² + 2² = 13.

Par delà l'aspect graphique de la méthode, le véritable intérêt réside dans le fait que l'ensemble des entiers de Gauss possède une arithmétique avec ses nombres premiers appelé nombres irréductibles et son lemme d'Euclide.

Cette approche, permet de démontrer dans le même traité une autre célèbre conjecture, la loi de réciprocité quadratique que Gauss considérait comme le théorème d'or. Elle est à l'origine de vastes branches des mathématiques, l'arithmétique modulaire et la théorie algébrique des nombres.

[modifier] Dedekind et l'algèbre moderne

Dedekind propose au moins deux démonstrations de ce théorème illustrant l'utilisation des propriétés arithmétiques des entiers de Gauss. Celle présentée ici est la seconde, elle est publiée en 1894 dans le Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet.

Son approche est élégante et expéditive. Dedekind est le dernier élève de Gauss. Il s'appuie sur les techniques des Recherches arithmétiques le livre de son maître.

Dans un premier temps utilise l'arithmétique modulaire : un polynôme cyclotomique sur le corps cyclique de cardinal p permet de montrer l'existence d'un entier α tel que α² + 1 soit un multiple du nombre premier. Le groupe cyclique d'ordre quatre, correspondant au groupe des entiers de Gauss inversibles et illustré en vert sur la figure, apparaît immédiatement.

Ensuite, il résout la question avec deux remarques arithmétique sur les entiers de Gauss.

La démonstration illustre parfaitement la puissance des outils théoriques développés pendant son siècle, surtout si on la compare avec celle d'Euler, la première connue.

Démonstration

[modifier] Lagrange et les formes quadratiques

Démonstration

Dans un Z module libre de dimension deux, une forme quadratique φ s'exprime dans une base B égale à (u, v) pour un vecteur m =x.u + y.v où x et y sont les coordonnées éléments de Z par une expression du type suivant : φ(m) = a.x² + 2b.x.y+c.y². Cette expression prend la forme matricielle suivante:

$\varphi(m)=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\quad \mbox {avec} \quad \varphi\;\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\; et \; m\;\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Le théorème s'exprime donc comme la recherche d'un vecteur ayant pour image un nombre premier p congru à 1 modulo quatre par la forme quadratique φ_I ayant (u, v) comme base orthonormée. Si β est un automorphisme de module, alors l'application φ_β définie par φ_β(m) = φ_I (β.m) est une forme quadratique qui a même image que φ_I.

Notons $ψ$ la forme bilinéaire symétrique associée à φ_I, et α un automorphisme symétrique de déterminant égal à 1. Montrons qu'il existe un automorphisme b tel que pour tout m du module ψ(α.m , m) = φ_I (β.m). Soit un vecteur u₁ tel que ψ(α.u₁ , u₁) ne soit pas nul. Un tel vecteur existe car α n'est pas l'endomorphisme nul. Considérons la forme linéaire qui à m associe ψ(α.u₁ , m), elle n'est pas nulle car elle prend une valeur non nulle sur u₁ et son image est donc Z, son noyau est donc de dimension un. Soit v₁ une base du noyau.

à Le déterminant de la forme quadratique dans la base B est égal à a.c - b² et prend comme valeur 1.

Two forms $a x 2 + 2 b x y + c y 2$ and $r x' 2 + 2 s x' y' + t y' 2$ are equivalent if and only if there exist substitutions with integer coefficients

x = α x' + β y'

y = γ x' + δ y'

with $\alpha\delta - \beta\gamma = \pm 1$ such that, when substituted into the first form, yield the second. Equivalent forms are readily seen to have the same discriminant. Moreover, it is clear that equivalent forms will represent exactly the same integers.

Lagrange proved that all forms of discriminant $- 1$ are equivalent. Thus, to prove Fermat's theorem it is enough to find any form of discriminant $- 1$ that represents $p$ . To do this, it suffices to find an integer $m$ such that $p$ divides $m 2 + 1$ . For, finding such an integer, we can consider the form

$px^2 + 2mxy + \left(\frac{m^2+1}{p}\right)y^2,$

which has discriminant $- 1$ and represents $p$ by setting $x = 1$ and $y = 0$ .

Suppose then that $p = 4 n + 1$ . Again we invoke Fermat's Little Theorem: for any $z$ relatively prime to $p$ , we know that $p$ divides $z p - 1 - 1 = z 4 n - 1 = (z 2 n - 1)(z 2 n + 1)$ . Moreover, by a theorem of Lagrange, the number of solutions modulo $p$ to a congruence of degree $q$ modulo $p$ is at most $q$ (this follows since the integers modulo $p$ form a field, and a polynomial of degree $q$ has at most $q$ roots). So the congruence $z^{2n} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$ has at most $2 n$ solutions among the numbers $1, 2, \dots, p-1=4n$ . Therefore, there exists some positive integer $z$ strictly smaller than $p$ (and so relatively prime to $p$ ) such that $p$ does not divide $z 2 n - 1$ . Since $p$ divides $z 4 n - 1 = (z 2 n - 1)(z 2 n + 1)$ , $p$ must divide $z 2 n + 1$ . Setting $m = z n$ completes the proof.

[modifier] Euler et la descente infinie

Voir l’article Théorème de descente infinie.

La première démonstration connue, celle d'Euler, se fonde sur une approche directe, n'utilisant aucun des outils cités ci-dessus. Euler n'utilise que l'identité de Brahmagupta, le petit théorème de Fermat et les règles élémentaires de calcul algébrique. Cette preuve illustre la quantité d'astuces nécessaire à l'époque pour venir à bout de la preuve. Elle est inévitablement longue et comporte de lourds calculs.

Euler utilise à la quatrième étape de sa démonstration un raisonnement de la nature suivante, si le théorème est faux, alors il existe un entier a différent de zéro qui vérifie une propriété telle que a s'écrit sous la forme x.y chacun différent de un avec y ayant la même propriété. a aurait alors une infinité de diviseurs différents de un, ce qui est impossible.

Une telle démarche s'appelle une descente infinie. Elle joue un rôle important en arithmétique. Fermat l'utilise pour démontrer le grand théorème de Fermat pour n égal à quatre. Euler l'utilise pour proposer une démonstration du cas n égal à trois, la démonstration s'avère fausse, l'approche est néanmoins la bonne. Elle permet même la résolution du cas où n est égal à cinq.

Démonstration

1. Le produit de deux entiers, chacun somme de deux carrés, est une somme de deux carrés.

C'est une conséquence directe de l'Identité de Brahmagupta.

2. Si un entier n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre premier m, somme de deux carrés, alors le quotient est lui-même somme de deux carrés.

Notons n = a² + b² et m = p² + q². Si n est divisible par le nombre premier m. Alors m divise:

$(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2)\;$

m est un nombre premier, il divise donc l'un des deux facteurs, par exemple p.b - a.q. De plus, l'Identité de Brahmagupta montre que :

$(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2\,$

Ce qui montre que m divise (a.p + b.q)², l'équation peut donc être divisée par le carré de m:

$\frac{a^2+b^2}{p^2+q^2} = \left(\frac{ap-bq}{p^2+q^2}\right)^2 + \left(\frac{aq+bp}{p^2+q^2}\right)^2 \;$

Ce qui démontre la proposition.

Si m² divise p.b + a.q, un argument de même nature peut être utilisé avec:

$(a^2+b^2)(q^2+p^2) = (aq+bp)^2 + (ap-bq)^2\,$

qui est une conséquence directe de l'Identité de Brahmagupta.

3. Si un nombre n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre m, qui n'est pas somme de deux carrés, alors le quotient q contient un facteur qui n'est pas somme de deux carrés.

Notons q = q₁.q₂. ... .q_k, la décomposition du quotient en facteurs premiers. Alors n = m.q₁.q₂. ... .q_k. Si chaque facteur q_i est somme de deux carrés, la proposition précédente montre qu'il est possible de diviser n successivement par chaque q_i et d'obtenir chaque fois un entier somme de deux carrés. Ce raisonnement montre que m est alors somme de deux carrés. La contraposée montre que si m n'est pas somme de deux carrés, alors au moins un q_i n'est pas somme de deux carrés.

4. Si a et b sont premiers entre eux, alors chaque facteur de n (la somme des carrés de a et de b) est somme de deux carrés.

Cette étape utilise la descente infinie. Soit x un facteur de n, alors :

$a = mx \pm c,\qquad b = nx \pm d\;$

où c et d sont deux entiers inférieurs en valeur absolue à la moitié de x. On remarque que c est strictement plus petit que a sauf peut-être dans le cas où c est égal à la moitié de x et x au double exact de a. Dans ce cas là, d ne peut être égal à la moitié de x car x, c et d serait des multiples de c et a et b ne serait pas premiers entre eux. En conséquence d est strictement plus petit que b et c² + d² est strictement plus petit que a² + b²

$a^2 + b^2 = m^2x^2\pm 2mxc + c^2 + n^2x^2 \pm 2nxd + d^2 = Ax + (c^2+d^2)\;$

a² + b² est un multiple de x. Notons a² + b² = x.y où y est entier. Si c et d ne sont pas premiers entre eux leur pgcd noté p est premier avec x, car tout diviseur commun à x, c et d divise a et b qui sont choisis premiers entre eux. Notons p.e le produit égal à c et p.d le produit égal à f. Comme c ² + d ² est un multiple de x et que p est premier avec x, l'égalité: c ² + d ² = p².(e ² + f ²) montre que e ² + f ² est un multiple de x, donc il existe un entier z tel que :

$zx = e^2 + f^2 \leq c^2+d^2 < a^2 + b^2 \;$

Si c et d sont premiers entre eux, il est alors possible de les utiliser directement et d'éviter l'étape de calcul de e et f.

Si x n'est pas la somme de deux carrés, alors la troisième étape montre l'existence d'un facteur w de z qui n'est pas somme de deux carrés. On obtient ainsi une descente infinie allant de x à un entier plus petit w, qui tous deux ne sont pas somme de deux carrés mais divisant une somme de deux carrés. Comme une telle descente infinie n'est pas possible, x est la somme de deux carrés.

5. Tout entier p est somme de deux carrés si p est un nombre premier congru à un modulo quatre.

Cherchons dans un premier temps, un entier a tel que a² + 1 soit un multiple de p. Le petit théorème de Fermat montre que si x est un entier, alors x^p-1 - 1 est un multiple de p. Si l'on note p = 4.k + 1, alors x^4.k - 1 = (x^2.k - 1).(x^2.k + 1) est un multiple de p. Comme p est premier l'un des deux facteurs de l'égalité précédente est un multiple de p. Il suffit alors de démontrer que le premier des facteurs n'est pas systématiquement un multiple de p.

Considérons la suite de polynômes P_n[X] définie par récurrence par P₀[X] = X^2.k - 1 et P_i+1[X] = P_i[X + 1] - P_i[X]. On remarque que si i est un entier compris entre 1 et 2.p, alors P_i[X] est un polynôme de degré 2.k - i et de monôme dominant ayant un coefficient égal à (2.k).(2.k - 1). ... .(2.k - i ). On en déduit que P_2.k[X] est un polynôme constant égal à (2.k)!. Comme p est premier, il n'est pas diviseur de (2.k)!. Or, P_2.k[X], est combinaison linéaire à coefficients dans Z de valeurs du polynôme P₀[x_i] avec x_i pris dans Z. En conséquence, il existe un entier a tel que P₀[a] n'est pas un multiple de p, ce qui montre que a^2.k + 1 est un multiple de p.

Il existe donc un multiple de p somme de deux carrés. D'après le paragraphe 4, chacun de ses facteurs, et en particulier p est somme de deux carrés.

[modifier] Une démonstration moderne

Ce théorème dispose de nombreuses preuves différentes. Une approche analytique permet, par exemple, une démonstration n'utilisant que peu d'outils et relativement simple néanmoins.

Démonstration

[modifier] Résultats connexes

[modifier] Autres problèmes posés par Fermat

Quatorze ans plus tard, dans une lettre à Blaise Pascal, Fermat conjecture deux résultats analogues si p est un nombre premier impair :

$p = x^2 + 2y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1\mbox{ ou }p\equiv 3\pmod{8}$
$Si\; p \neq 3 \quad alors \quad p= x^2 + 3y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1 \pmod{3}$

Ces deux résultats sont pour la première fois démontrés par Lagrange.

Démonstration

$Si\; p \neq 3 \quad alors \quad p= x^2 + 3y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1 \pmod{3}$

La démonstration ici est analogue à celle de Dedekind, cependant, l'anneau des entiers est celui d'Eisenstein. Il est composé des nombres complexes de la forme a + b.j où j désigne la racine cubique de l'unité $\scriptstyle {-1/2 + \sqrt 3/2}.i$ . C'est aussi un anneau euclidien et donc factoriel.

1. Si un nombre premier différent de trois est de la forme x² + 3.y² alors il est congru à un modulo trois.'

En effet, le deuxième terme est congru à zéro, modulo trois, un carré est congru à zéro ou à un. En conséquence, si p est différent de trois, comme il est premier, il n'est pas congru à zéro modulo trois il est donc congru à un.

2. Si p est différent de trois et congru à un modulo trois, alors il existe un entier α tel que α² + 3 soit un multiple de p.

Soit le polynôme X³ - 1 dans Z/pZ. Ces racines sont les éléments d'ordre trois dans le groupe (Z/pZ)* qui est un groupe cyclique d'ordre p - 1 (cf Groupe cyclique et anneau). Il en existe trois si et seulement si l'ordre du groupe est un multiple de trois (cf la troisième proposition du Théorème fondamental des groupes cycliques). Le polynôme se factorise de la manière suivante :

$X^3-1=(X^2+ X + 1)(X-1)\;$

Et le polynôme X² + X + 1 admet une racine J dans Z/pZ si, et seulement si, p est congru à un modulo trois. Il suffit alors de remarquer que le carré de 1 + 2.J est égal à -3. Ce qui montre que tout élément α de la classe de 1 + 2.J remplit la condition.

3. Il existe un entier d'Eisenstein de norme égale à p, si p est congru à un modulo trois.

p divise (α + √3.i).(α - √3.i). De plus il ne divise aucun des membres car s'il en divise un, il divise l'autre (c'est son conjugué) et il divise leur différence égale à 2√3.i. Or p ne divise pas 2√3.i, il n'est donc pas irréductible. Et il existe deux entiers d'Eisenstein n et m non unitaires tel que p = n.m et comme la norme de p est égale à p² et qu'une norme est toujours un entier, la norme de n est égale à p. La proposition est démontrée.

4. Il existe deux entiers x et y tel que x² + 3.y² soit égal à p, si p est congru à un modulo trois.

Le point 3. montre l'existence de deux entiers a et b tel que n = a + b.j ait pour norme p. Cependant un entier de la forme a + b.j est de la forme x + y.√3.i si, et seulement si, b est pair. On remarque que la norme de n est égal à a² - a.b + b². a et b ne peuvent être pair en même temps car p serait alors un multiple de quatre, or p est premier. Si a est pair, alors b + a.j possède une norme égale à p et un coefficient pair pour j. Si a et b sont impairs alors a + (a - b).j possède une norme égale à p et un coefficient pair pour j.

[modifier] Généralisation à tous les entiers

Une fois connu les nombres premiers somme de deux carrés, il devient possible de généraliser la question à tous les entiers:

Un entier n est somme de deux carrés d'entiers si, et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à trois modulo quatre figurent à une puissance paire.

Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante:

Un entier est somme de deux carrés d'entiers si et seulement si les valuations p-adiques des facteurs premiers p de n congrus à trois modulo quatre sont paires.

Démonstration

[modifier] Fonctions arithmétiques

L'utilisation des fonctions arithmétiques permet d'obtenir plus de résultats. Ainsi, si l'on pose $r 2 (n)$ comme étant le nombre de façons d'écrire l'entier sous forme d'une somme de 2 carrés, on peut prouver le résultat suivant:

$r_2(n) = 4 \left(d_1(n) - d_3(n)\right)$ .