Théorème de descente infinie

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En théorie des nombres, le théorème de descente infinie stipule qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Ce théorème est une conséquence immédiate d'un des axiomes des entiers naturels : tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément.

Démonstration :

si est une suite d'entiers naturels strictement décroissante, l'ensemble est un ensemble non vide de donc possède un plus petit élément : il existe un entier n₀ de E tel que est le plus petit élément de A. Pour tout n de E, on a . La suite étant strictement décroissante, cette inégalité prouve que , pour tout n de E, . La suite est donc finie.

Ce théorème est à la source de nombreux raisonnements par l'absurde : si une supposition induit la possibilité de l'existence d'une suite infinie et décroissante d'entiers naturels alors cette supposition est fausse.

Exemple :

Pour montrer qu'il n'existe pas d'entiers naturels x et y tels que x² = 2y² (1) , on suppose qu'il existe de tels entiers, alors x serait pair et s'écrirait 2x₁. L'égalité (1) s'écrirait , puis .

On aurait alors y pair. Il s'écrirait 2y₁. Les entiers x₁ et y₁ vérifieraient de nouveau .

Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie et strictement décroissante d'entiers naturels vérifiant (1) .

Absurde donc il n'existe pas d'entiers naturels x et y tels que x² = 2y².

• pour d'autres démonstrations de l'irrationalité de voir racine carrée de deux

On remarque que ce théorème de descente infinie ne s'applique pas dans l'ensemble des entiers relatifs où la suite définie pr u₀ = a et u_{n + 1} = u_n − 1 est strictement décroissante et infinie. Il ne s'applique pas non plus dans l'ensemble des rationnels (même si l'on se restreint aux rationnels positifs) où la suite est strictement décroissante et infinie.

Cette méthode est utilisée par Fermat pour la démonstration de son dernier théorème par exemple dans le cas où le paramètre est égal à trois ou quatre. Elle est aussi utilisée par Euler pour établir la démonstration théorème des deux carrés.