Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4. Per esempio:

$5=1^2+2^2 \quad 13=2^2+3^2 \quad 17=1^2+4^2 \quad 29=2^2+5^2$

tale teorema è stato dimostrato da Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.

[modifica] Dimostrazione

Se a è un residuo quadratico modulo p, con p numero primo dispari

$x^2 \equiv a \pmod{p}$

con p congruo a 1 modulo 4, allora anche -a è un residuo quadratico modulo p

infatti per il criterio di Eulero

$\left(\frac{-a}{p}\right)\equiv\left(-a\right)^\frac{p-1}{2}\equiv a^\frac{p-1}{2}\equiv \left(\frac{a}{p}\right) \equiv 1 \mod p$

quindi l'equazione

$np=x^2+y^2 \qquad (1)$

ha soluzioni con x, y e n numeri interi. Noi vogliamo dimostrare che

$p = x 2 + y 2$

cioè se m è il più piccolo intero che soddisfa la 1 allora m=1. Ragioniamo per assurdo

supponiamo che m>1

$mp=x^2+y^2 \qquad (2)$

utilizzando l'algoritmo di Euclide possiamo scrivere

$x = a m + s$

$y = b m + t$

con

$s,t \in \lbrack-m/2,m/2\rbrack$

è importante il fatto che s e t non possono essere nulli altrimenti si avrebbe

$mp=\left(am\right)^2+\left(bm\right)^2$

$p=m\left(a^2+b^2\right)$

che è impossibile essendo p un numero primo. Dalla 2 e dalle relazioni di x e y con m

si ottiene che esiste un intero k tale che

$m k = s 2 + t 2$

essendo i valori assoluti di s e t uguali al massimo a m/2 si ricava facilmente che k<m.

A questo punto moltiplichiamo pm per mk ottenendo

$m^2pk=\left(x^2+y^2\right)\left(s^2+t^2\right)=\left(xs+yt\right)^2+\left(xy-st\right)^2$

le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per m infatti

$xs+yt=\left(am+s\right)s+\left(bm+t\right)t=m\left(as+bt+k\right)=mq$

$xy-st=\left(am+s\right)\left(bm+t\right)-st=m\left(abm+at+bs\right)=mr$

quindi

$p k = q 2 + r 2$

ma (ricordando che k<m) ciò è impossibile poiché m è il minore intero che soddisfa la 1. L'assurdo sta nell'aver supposto m>1, la tesi è dimostrata.

[modifica] Una generalizzazione

In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma

$p = x 2 + 3 y 2$

per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un residuo quadratico per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il lemma di Gauss