Anneau (mathématiques)

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En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique consistant en un ensemble d'éléments munis d'une opération d'addition et d'une opération de multiplication qui vérifient certaines des propriétés de l'addition et de la multiplication des nombres ordinaires.

Sommaire

1 Aspect historique
2 Définition
3 Éléments remarquables
4 Anneaux remarquables
5 Corps des fractions
6 Sous-anneau
7 Idéal
8 Classification des anneaux
9 Opérations (induites ou additionnelles) sur les éléments d'un anneau
10 Sources

[modifier] Aspect historique

Article détaillé : Théorie des anneaux.

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du XIX^e siècle. Elle est développée par les mathématiciens Kummer, Dedekind, Kronecker et Hilbert. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.

Les noms de Ring (« cercle » ou « anneau ») et de Körper apparaissent dans un livre de Richard Dedekind en 1871 : Lehrbuch des Algebra. Mais il semblerait que ce soit David Hilbert qui ait employé pour la première fois le terme d'anneau pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire.

[modifier] Définition

Un anneau est un triplet (A, +, ∙) tel que :

A est un ensemble ;
+ est une loi de composition interne telle que (A, +) soit un groupe commutatif (ce qui implique que A contient au moins un élément : l'élément neutre pour la loi +, noté 0) ;
∙ est une loi de composition interne associative et distributive par rapport à +

Exemples

L'ensemble des entiers relatifs muni de l'addition (pour la loi +) et de la multiplication (pour la loi ∙).
Un corps est un cas particulier d'anneau. En particulier, l'ensemble des nombres rationnels muni de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau .
L'ensemble des réels s'écrivant $a + b\sqrt{2}$ où a et b sont des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication usuelles est un anneau.
les endomorphismes d'un espace vectoriel (applications linéaires de l'espace vers lui-même) forment un anneau, avec l'addition de fonction pour la loi +, et la composition pour la loi ∙ ; l'identité est clairement un élément neutre pour ∙, donc c'est un anneau unitaire. Il n'est pas commutatif en général. C'est une grande source de contre-exemples à des affirmations fausses sur les anneaux.
En particulier, l'ensemble des matrices 2 × 2 muni de l'addition et de la multiplication est aussi un anneau non commutatif unitaire
L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau est aussi un anneau.

[modifier] Éléments remarquables

Élément régulier : un élément a ∈ A est dit régulier à droite (resp. à gauche) ssi le seul élément x de A tel que x∙a = 0 (resp. a∙x=0) est x = 0; on note l'ensemble des réguliers: A^×

Diviseur de zéro : un élément non nul a ∈ A est un diviseur de 0 à droite (resp. à gauche) ssi il existe un élément b de A non nul et tel que b∙a = 0(resp. a∙b = 0). L'ensemble des éléments réguliers et des diviseurs de zéro forment une partition de A\ {0}

Voir article détaillé : Diviseur de zéro

Élément nilpotent : un élément a ∈ A est dit nilpotent d'ordre n lorsqu'il existe un entier n non nul tel que aⁿ=0 et losque quel que soit k appartenant à {0;n-1} a^k/=0

Un élément nilpotent non nul est un diviseur de zéro.

2 est nilpotent dans tous les anneaux $\mathbb Z /2^n \mathbb Z$ où n≥2.

Si a est nilpotent, (1-a) est inversible

Élément idempotent ou projecteur : un élément a ∈ A est appelé projecteur ou idempotent lorsque a∙a = a² = a.

Toute projection sur un sous-espace vectoriel, dans l'anneau des endomorphismes décrit ci-dessus, est un projecteur

Élément inversible : un élément a ∈ A d'un anneau unitaire est dit inversible lorsqu'il existe un élément b de l'anneau tels que a∙b = b∙a = 1. On appelle parfois les éléments inversibles les éléments unités. On note l'ensemble des inversibles : A^*.

Voir article détaillé : Élément inversible

Les éléments inversibles de Z sont -1 et 1

Un élément inversible est nécessairement régulier mais la réciproque est fausse.

Diviseur : si a ∈ A est non nul, et d ∈ A. On dit que d est un diviseur de a à droite (resp. à gauche) ssi il existe b ∈ A tel que a = b∙d (resp. a = d∙b). Si l'anneau est commutatif, on parle simplement de diviseur.

Élément irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un élément a ∈ A non inversible est irréductible ssi ses seuls diviseurs dans A sont les éléments inversibles u ou les éléments s'écrivant a∙u

Élément premier: Dans un anneau commutatif unitaire, un élément p ∈ A est dit premier ssi, pour tous éléments a et b de A, si p divise a∙b et si p ne divise pas a alors p divise b

Dans un anneau commutatif intègre, un élément premier est irréductible mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Éléments associés : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont associés ssi il existe un élément inversible u tel que a = u∙b

Éléments premiers entre eux : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont premiers entre eux ssi , pour tout d de A, si d divise a et d divise b alors d est un élément inversible.

[modifier] Anneaux remarquables

Anneau unitaire : un anneau est dit unitaire si la loi ∙ dispose d'un élément neutre, noté 1.

En terminologie universitaire française, les anneaux sont systématiquement unitaires. Dans le cas contraire, si la loi ∙ ne dispose pas d'élément neutre, l'anneau est dit pseudo-anneau.

Anneau commutatif (ou abélien) : un anneau est commutatif si sa seconde loi est aussi commutative

Voir article détaillé : Anneau commutatif

Convention : Le terme « anneau » est souvent employé pour désigner un anneau commutatif unitaire. Il faut donc prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Anneau intègre : Un anneau est intègre ssi tout élément non-nul est régulier.

Voir article détaillé : Anneau intègre

Anneau réduit: Un anneau est réduit ssi son élément nul est le seul nilpotent.

$\mathbb Z / 6 \mathbb Z$ est réduit, mais n'est pas intègre, puisque dans cet anneau, 2 et 3 sont des diviseurs de zéro.

Corps : un corps est un anneau unitaire dont tous les éléments non-nuls sont inversibles.

Voir article détaillé : Corps

Tout anneau intègre fini est nécessairement un corps.

Anneau factoriel: anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tous les éléments se décomposent en produits d'éléments irréductibles

Voir article détaillé : Anneau factoriel

plus exactement pour tout a de A, il existe un élément u et n éléments irréductibles

p 1, p 2,..., p n

tels que

a = u p 1 p 2 ... p n

. Cette décomposition est unique à l'ordre près et à l'élément unitaire près.

Anneau euclidien : annneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.

Voir article détaillé : Anneau euclidien

Plus précisement, il existe une application v (appelé stathme euclidien) de A\{0} dans N telle que: pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A² tel que a = bq + r avec r nul ou v(r) < v(b)

Z[i] est un anneau euclidien dans lequel le couple (q,r) n'est pas unique

L'anneau Z des entiers relatifs est un anneau euclidien pour v = valeur absolue

Si K est un corps, l'anneau K[X] est un anneau euclidien pour v = degré du polynôme.

Anneau de Boole : anneau dans lequel tout élément de A est idempotent (x² = x)

L'ensemble des parties de E muni de la loi + définie par $A + B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ et de la loi ∙ définie par $A \cdot B = A \cap B$ est un anneau commutatif unitaire de Boole

[modifier] Corps des fractions

Voir article détaillé : Corps des fractions

Un anneau commutatif unitaire intègre est presque un corps mais certains éléments ne sont pas toujours inversibles. On démontre que l' on peut plonger tout anneau commutatif intègre dans un corps appelé corps des fractions de A. Remarque: il n'est pas nécessaire que l'anneau soit unitaire, car l'élément neutre apparait de toute façon dans la construction du corps des fractions.

[modifier] Sous-anneau

Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de (A, +, .) ssi

(B, +) est un sous-groupe de (A,+)
B est stable pour la loi .
dans le cas des anneaux unitaires, il est nécessaire que 1 ∈ B

La dernière condition n'est pas à négliger : dans l'ensemble des matrices carré $M 2$ , anneau non-commutatif unitaire, l'ensemble des matrices de la forme :

$\begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

est un anneau unitaire dont l'élément neutre est différent de la matrice identité. Ce n'est donc pas un sous-anneau de $M 2$ .

Élément entier sur B : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, un élément x ∈ A est entier sur B ssi x est solution d'une équation P(x) = 0 où P est un polynôme unitaire à coefficient dans B.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q des rationnels. Les seuls éléments de Q entiers sur Z sont les entiers relatifs.

L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau Q[i] des complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des rationnels . Les éléments de Q[i] entiers sur Z sont les complexes s'écrivant a + ib, a et b étant des entiers relatifs.

Clôture intégrale : dans un anneau commutatif unitaire intègre A contenant un sous-anneau B, la clôture intégrale de B sur A est l'ensemble des éléments de A entiers sur B. C'est un sous-anneau de A contenant B comme sous-anneau.

Anneau intégralement clos : C'est un anneau commutatif unitaire intègre égal à sa clôture intégrale sur son corps de fraction.

L'anneau des entiers relatifs est intégralement clos

Un anneau factoriel et intègre est intégralement clos

Cependant, la structure de sous-anneaux (excepté le cas d'un anneau dans son corps de fraction) est moins riche en résultats que celle d'idéal.

[modifier] Idéal

Voir article détaillé : Idéal

Plus intéressante que la structure de sous-anneau, la structure d'idéal s'apparente à celle de sous-groupe distingué dans un groupe. Un idéal I est un sous-groupe additif vérifiant

pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I pour un idéal à droite
pour tout x de I et tout a de A, xa ∈ I pour un idéal à gauche

Un idéal bilatère (à droite et à gauche) permet de créer un anneau quotient.

Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers:

Anneau principal : anneau commutatif unitaire intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Voir article détaillé : Anneau principal

Un anneau euclidien est principal

Un anneau principal est factoriel

Anneau noethérien: anneau commutatif unitaire dont les idéaux sont engendrés par un nombre fini d'éléments

Voir article détaillé : Anneau noethérien

Anneau artinien : anneau commutatif unitaire dont toute suite d'idéaux décroissante (pour l'inclusion) est stationnaire.

Anneau local : anneau commutatif unitaire dans lequel il n'existe qu'un seul idéal maximal.

Anneau de Bézout : Anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal

Anneau de Dedekind : Anneau noethérien intégralement clos dans lequel tout idéal premier est maximal.

Voir article détaillé : Anneau de Dedekind

[modifier] Classification des anneaux

La théorie des anneaux étant une branche très riche de l'algèbre, il est difficile de se repérer dans la jungle des anneaux particuliers. Le schéma ci-dessous donne une illustration partielle de leur hiérarchie - un flèche fait passser du général au particulier.

On peut remarquer que l'anneau qui se détache de cette hiérarchie est l'anneau euclidien : c'est celui qui va posséder le plus de propriétés.

[modifier] Opérations (induites ou additionnelles) sur les éléments d'un anneau

[modifier] Multiplication par un entier

Précisons tout de suite que cette multiplication ne fait pas partie de la structure de l'anneau; mais elle apparaît de façon naturelle pour tout anneau.

Il s'agit tout simplement de la multiplication par un entier appliquée au groupe additif de l'anneau.

L'élément na est défini par

si $n > 0,\ na = a + a + \ldots + a$ avec n termes a
si $n = 0,\ na = 0$
si $n < 0,\ na = - |n|a$

De plus, cette loi externe est compatible avec la multiplication de l'anneau:

$\forall n \in \Z,\ \forall (a,b) \in A \times A,\ (na) \cdot b=a \cdot(nb)= n(a \cdot b)$

Cela confère alors à l'anneau une structure de $\Z$ -algèbre.

En particulier, si l'anneau est unitaire, on peut multiplier son 'un' par tout entier, et cela définit une application de Z dans A .

Il est clair, d'après sa définition, que cette application est le seul morphisme d'anneaux unitaires de Z vers A.

On peut alors définir la caractéristique de l'anneau comme l'entier naturel n qui engendre le noyau de ce morphisme. En effet, le noyau de ce morphisme est un idéal de Z et s'écrit alors nZ.

Cette structure additionnelle est très utilisée pour les différentes théories de cohomologie.

[modifier] Formule du binôme

Voir Formule du binôme de Newton.

Cette formule est applicable à tout couple d'éléments permutables.

Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : Formule du multinôme.

[modifier] Dérivation

Une dérivation d'un anneau A est une application $\mathrm D : A \mapsto A$ vérifiant l'identité de Leibniz :

$\forall (a,b) \in A \times A,\ \mathrm{D}(a \cdot b) = a \cdot \mathrm{D}(b)+ \mathrm{D}(a)\cdot b$ .

Cette notion est en particulier vérifiée par la dérivée d'une fonction (de variable réelle, par exemple); elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie). Toute application de dérivation vérifie la formule de Leibniz.