Loi de réciprocité quadratique

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, conjecturée par Euler et Legendre et correctement démontrée pour la première fois par Gauss, établit un lien entre la résolubilité de deux équations quadratiques voisines d'arithmétique modulaire. Cette loi permet en fait de déterminer la résolubilité de n'importe quelle équation quadratique en arithmétique modulaire.

Étant donné des nombres premiers distincts p et q impairs, la loi de réciprocité quadratique comprend deux résultats qui dépendent chacun des valeurs respectives de p et de q :

si au moins l'un des nombres p et q est congru à 1 modulo 4, alors l'équation d'inconnue x :

$x^2\equiv p\ (q)$

a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :

$y^2\equiv q\ (p)$

a une solution (les deux solutions sont en général différentes).

si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors l'équation d'inconnue x :

$x^2\equiv p\ (q)$

a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :

$y^2\equiv q\ (p)$

n'a pas de solution.

En utilisant le symbole de Legendre, ces deux résultats peuvent être résumés par l'énoncé unique suivant :

$\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$

Par exemple, si p vaut 11 et q vaut 19, il est possible de ramener le calcul de $\left(\frac{11}{19}\right)$ à celui de $\left(\frac{19}{11}\right)$ , qui est égal à $\left(\frac{8}{11}\right)$ (puisque $19\equiv 8\ (11)$ ). Pour aller plus loin, nous avons besoin de propriétés supplémentaires qui permettent de calculer $\left(\frac{2}{q}\right)$ et $\left(\frac{-1}{q}\right)$ explicitement, par exemple :

$\left(\frac{-1}{q}\right) = (-1)^{\frac{q-1}{2}}$

En utilisant cela, nous ramenons successivement le calcul de $\left(\frac{8}{11}\right)$ à $\left(\frac{-3}{11}\right)$ (car $8\equiv -3\ (11)$ ), puis à $\left(\frac{11}{3}\right)$ et enfin à $\left(\frac{1}{3}\right)$ , ce qui termine le calcul.

[modifier] Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique

Dans un livre publié en 2000, Lemmermeyer expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations de cette loi de réciprocité quadratique.

Les premières démonstrations aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de 19 ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec son élève Ferdinand Eisenstein, Gauss qualifie cette preuve de laborieuse^[1].

[modifier] Généralisations

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant la véritable généralisation de toutes ces lois, généralisation monumentale, est la théorie des corps de classes.

Le lemme de Gauss concerne les propriétés des résidus quadratiques et sert dans la démonstration établie par Gauss de la loi de réciprocité quadratique.