Polynôme cyclotomique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Carl Friedrich Gauss

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un polynôme cyclotomique est un polynôme minimal d'une racine de l'unité. Les polynômes ainsi obtenus sont aussi ceux qui apparaissent dans la décomposition des polynômes $X n - 1$ en produit de facteurs irréductibles sur le corps des rationnels.

Un polynôme cyclotomique possède des propriétés fortes, c'est un polynôme à coefficients entiers, de degré égal à $φ$ (n) si la racine est une racine primitive n-ième de l'unité, où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Les racines du polynôme cyclotomique sont toutes les racines primitives n-ièmes de l'unité.

Le corps de décomposition encore appelé extension cyclotomique associé est une extension abélienne dont le groupe de Galois est cyclique.

L'analyse de ces polynômes permet la résolution du problème de la construction des polygones à la règle et au compas.

Sommaire

1 Histoire
- 1.1 Naissance de la notion
- 1.2 Polynôme cyclotomique et équation algébrique
2 Définitions
3 Exemples
4 Propriétés
- 4.1 Propriétés du polynôme
- 4.2 Propriétés de l'extension cyclotomique
5 Applications
- 5.1 Cas du pentagone
- 5.2 Cas de l'heptadécagone
6 Voir aussi

[modifier] Histoire

[modifier] Naissance de la notion

Carl Friedrich Gauss (1777 1855) utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801, les polynômes cylotomiques. Il apporte alors une contribution majeure à un problème ouvert depuis l'Antiquité: celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Ces travaux servent de référence durant tout le siècle. Dans ce texte Gauss détermine avec exactitude la liste des polygones constructibles,et donne une méthode effective pour la construction des premiers polygones jusqu'à 256 cotés. La fin de la problématique est traité par Pierre-Laurent Wantzel (1814 1848) dans un article^[1] désormais célèbre.

Cette approche est novatrice à bien des égards. On peut la résumer en remarquant que l'algèbre est utilisé pour résoudre des problèmes géométriques et arithmétiques avec un degré de sophistication inconnu pour l'époque. Gauss utilise avec succès les permutations et développe une branche qui deviendra la théorie des groupes. De plus, il utilise les polynômes avec des coefficients dans des ensembles qui ne sont plus rationnels, réels ou complexes mais qui sont ce que l'on appellera plus tard des corps finis.

Avec Gauss, non seulement la notion de polynôme cyclotomique est formalisée, mais de plus les propriétés essentielles comme l'irréductibilité, le caractère entier des coefficients ou la forme exacte dans le cas ou le degré est premier sont mises en évidence.

La démarche de Gauss ainsi que les polynômes cyclotomiques ont de nombreuses applications durant le siècle.

[modifier] Polynôme cyclotomique et équation algébrique

Évariste Galois

La recherche de solutions à l'équation polynômiale est un problème qui remonte à la nuit des temps. Si l'on cite généralement Al-Khawarizmi (783 850) comme précurseur^[2] avec la résolution de six équations canoniques puis Gerolamo Cardano (1501 1576) pour la résolution du cas de degré trois^[3] et Ludovico Ferrari (1522 1565) pour le quatrième degré, le cas général est resté longtemps mystérieux.

Joseph-Louis Lagrange (1736 1813) comprend que la résolution de ce problème général est intimement lié aux propriétés des permutations des racines^[4]. Le cas particulier des polynômes cyclotomiques l'illustre. Le groupe des bonnes permutations, que l'on appelle maintenant groupe de Galois est non seulement commutatif mais cyclique. Cette propriété, utilisée à travers le concept des périodes de Gauss permet une résolution effective pour ce cas particulier.

Une analyse plus profonde par Paolo Ruffini^[5] (1765 1822), Niels Henrik Abel^[6] (1802 1829) et surtout par Evariste Galois^[7] (1811 1832) montre que l'aspect commutatif du groupe est en fait une condition suffisante. Pour être précis,la condition indique que le groupe doit être décomposable en une suite de groupes emboîtés commutatifs. La question naturelle qui se pose alors est: quelles sont les structures qui disposent d'un groupe de Galois commutatif fini ? La structure de corps associé au polynôme cyclotomique, que l'on appelle extension cyclotomique en est un exemple. Est-elle le seul? ce qui signifie que toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive, pour les nombres rationnels toute extension abélienne est un sous-corps d'une extension cyclotomique. Ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'effort pour pouvoir être démontré^[8]. Les artisans principaux sont Leopold Kronecker (1823 1891) et Heinrich Weber (1842 1913).

Si l'analyse des extensions abéliennes finie se termine avec le XIXe siècle, elle laisse ouvert un large champs de questions par exemple en arthimétique. Il apparaît alors nécessaire de généraliser la notion de corps cyclotomique sur les extensions infinies. Le sujet est ouvert^[9] par David Hilbert (1862 1843). Cet axe de recherche est appelé la Théorie des corps de classe. Cette théorie est l'une des plus fructueuses au XX^e siècle. On peut citer par exemple le théorème de réciprocité^[10] d'Emil Artin (1898 1962) qui résout le neuvième des problèmes de Hilbert, ou plus récemment, deux lauréats de la médaille Fields pour leurs travaux sur des généralisations de la théorie : Vladimir Drinfeld en 1990 ou Laurent Lafforgue en 2002.

[modifier] Définitions

Soit n un entier strictement positif alors le n-ième polynôme cyclotomique est le polynôme minimal sur le corps des nombres rationnels d'une racine primitive n-ième de l'unité. On le note en général $Φ n [X]$ .

L'égalité suivante est vérifiée si z_k décrit les racines primitives n-ièmes de l'unité et $φ$ la fonction indicatrice d'Euler:

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$

Il est à noter que les polynômes cyclotomique sont à coefficents entiers avec le coefficient du monôme dominant égal à un.

On appelle corps cyclotomique ou extension cyclotomique le plus petit sous-corps du corps des nombres complexes contenant le corps des nombres rationnels et une racine primitive n-ième de l'unité.

Remarque: Les propriétés associées à la définition sont démontrées à la suite dans cet article.'

[modifier] Exemples

Les premiers polynômes cyclotomiques sont :

$\Phi_1(X) = X - 1\,$

$\Phi_2(X) = X + 1\,$

$\Phi_3(X) = X^2 + X + 1\,$

$\Phi_4(X) = X^2 + 1\,$

$\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

$\Phi_6(X) = X^2 - X + 1\,$

Il faut noter que, contrairement aux apparences, tous les coefficients des polynômes cyclotomiques ne sont pas 1, -1 ou 0 ; le premier polynôme où cela se produit est Φ₁₀₅, puisque 105 = 3×5×7 est le premier produit de trois nombres premiers impairs.

En effet :

$Φ 105 (X) = X 48 + X 47 + X 46 - X 43 - X 42 - 2 X 41 - X 40 - X 39 + X 36 + X 35 + X 34 + X 33 + X 32 + X 31 - X 28 - X 26 - X 24 - X 22 - X 20 + X 17 + X 16 + X 15 + X 14 + X 13 + X 12 - X 9 - X 8 - 2 X 7 - X 6 - X 5 + X 2 + X + 1$

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés du polynôme

Le traité d'analyse des polynômes cyclotomiques

Sans utiliser les outils sophistiqués que représente la théorie de Galois, il est possible de démontrer des propriétés fortes sur les polynômes cyclotomiques. Ce sont celles présentées dans ce paragraphe. Elles ont toutes été démontrées par Gauss dans son traité de 1801.

Pour un souci d'exposition, la définition initiale du polynôme cylotomique $Φ n [X]$ utilisée ici est, avec les notations de la définition:

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$

Les propriétés suivantes sont vérifiées:

Si la notation d|n signifie l'ensemble des entiers strictements positifs qui divisent n, les polynômes cyclotomiques vérifient l'égalité suivante:

$X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;$

Si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes de l'unité, et l'égalité est vérifiée.

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

Un polynôme cyclotomique ne possède que des coefficients entiers et son monôme dominant possède un coefficient égal à un.
Un polynôme cyclotomique est irréductible dans le corps des nombres rationnels.

Démonstrations

Montrons l'égalité suivante:

$X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;$

Les deux polynômes de l'égalité sont des polynômes de monômes dominants égaux à un.

Le polynôme $X n - 1$ admet n racines disctincts, les n racines n-ièmes de l'unité et il est de degré n, il n'admet donc aucune racines multiples. Une racine de l'unité ne peut être racine primitive d'ordre différents, le polynôme de droite n'admet donc aussi aucune racine multiple.

Si r est racine de $X n - 1$ c'est une racine n-ième de l'unité, alors il est racine primitive d'ordre d ou d divise n et il est aussi racine du polynôme de droite. Réciproquement une racine primitive d'ordre d de l'unité est une racine n_ième si d divise n. Les polynômes ont même racines.

Les trois propriétés démontrées prouvent que les deux polynômes sont égaux.

Si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes de l'unité, et l'égalité est vérifiée.

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

Si p est premier alors l'indice d'Euler nous indique que toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf une sont primitives. Or 1 n'est une racine primitive d'un nombre premier. Ceci montre que le polynôme X^p - 1 n'admet que deux diviseurs X - 1 et le polynôme cyclotomique associé.

Un polynôme cyclotomique $Φ n [X]$ ne possède que des coefficients entiers et de monôme dominant égal à un.

Le fait que le monôme dominant est égal à un est une évidence.

Montrons par récurrence sur n que le polynôme est à coefficients entiers.

Si n est égal à 1 alors le résultat est vrai car $Φ 1 [X]$ = X - 1

Supposons la propriété vraie pour toute valeur inférieure ou égal à n. Alors la première proposition permet d'affirmer que:

$X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X] \Phi_{n+1} [X]\;$

ou le polynôme Q_n+1[X] est le produit de tout les polynômes cyclotomiques d-ièmes avec d divisant strictement n. Par hypothèse de récurrence, Q_n+1[X] est un polynôme à coefficient entier. Divisons alors le polynôme à coefficients dans les entiers Xⁿ-1 par Q_n+1[X] dans Z[X] l'anneau des polynômes à coefficients entiers. On obtient alors l'égalité:

$X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X].A[X]+B[X]\;$

Avec A[X] et B[X] élément de Z[X]. Réalisasons maintenant cette même opération dans Q[X] l'anneau des polynômes à coefficients rationnels. Il existe une unique solution avec le degré de B[X] strictement inférieur à n+1. On en déduit que la division dans Q[X] et dans Z[X] donne exactement le même résultat. En conséquence, B[X] est égal au polynôme nul et A[X] est égal au polynôme cyclotomique. Donc le polynôme cyclotomique est à coefficients dans les entiers.

Un polynôme cyclotomique est irréductible.

Soit z le première des racines primitives n-ièmes. C'est à dire z = exp(2 $π$ .i/n). Soit M₁[X] le polynôme minimal de z

M₁[X] est un polynôme à coefficients entiers unitaire.

z est racine du polynôme Xⁿ - 1 est donc son polynôme minimal divise ce polynôme. Il existe donc un polynôme à coefficients entiers tel que l'égalité suivante soit vérifiée:

$X^n-1=\lambda. M_1[X].P[X]\;$

Où $λ$ est choisi de telle manière à ce que le polynôme P[X] soit à coefficients entiers. La démonstration précédente a établi que dans ce contexte, λ.M₁ [X] est aussi un polynôme à coefficients entiers. De plus comme Xⁿ - 1 est unitaire, il en est de même pour M₁ [X] et P[X] et λ est égal à 1.

Si p est un nombre premier qui ne divise pas n alors z ^p est racine de M₁[X].

Raisonons par l'absurde et supposons que cela ne soit pas le cas. Soit M_p [X] le polynôme minimal de z ^p alors M_p [X] ne divise pas M₁ [X] mais divise Xⁿ - 1. Il divise donc le polynôme P[X]. Il existe donc un polynôme Q[X] vérifiant l'égalité suivante:

$X^n-1=M_1[X].M_p[X].Q[X]\;$

Un raisonnement analogue à celui sur P[X] montre que Q[X] est unitaire à coefficients entiers. z ^p est racine du polynôme M_p [X] et donc z est racine du polynôme M_p [X^p]. On en déduit que M_p [X^p] est un multiple de M₁ [X]. Il existe donc un polynôme unitaire R[X] à coefficients entiers vérifiant:

$M_p[X^p]=M_1[X].R[X]\;$

Par passage au modulo p, en remarquant que la formule du binôme devient

$(\bar{A}+\bar{B})^p=\bar{A}^p+\bar{B}^p \mbox{ et donc } \bar{M}_p[X^p]=\bar{M}_p[X]^p$ en conséquence $X^n-\bar{1}=\bar{M}_1[X].\bar{M}_p[X].\bar{Q}[X]\quad et \quad \bar{M}_p[X]^p=\bar{M}_1[X].\bar{Q}[X]$

Soit D[X] un diviseur irréductible de degré strictement supérieur à 1 de M₁ [X] dans l'anneau quotient (s'il n'en admet pas d'autres que 1 et lui-même sur les entiers, il n'en est pas de même sur l'anneau quotient) alors il divise aussi M_p [X] dans l'anneau quotient puisqu'il divise sa puissance. On en déduit que son carré divise Xⁿ - 1 et D[X] divise la dérivée formelle de Xⁿ - 1 dans l'anneau quotient. D[X] divise donc nX^n-1 dans l'anneau quotient, et ce polynôme est non nul si car n et p sont premiers entre eux. On en déduit que D[X] est égal à X car il est irreductible. Or X ne divise pas Xⁿ - 1 dans l'anneau quotient. D'où une contradiction. En conséquence nous avons montré que M_p [X] est égal à M₁ [X].

Si k est un nombre qui ne divise pas n alors z ^k est racine de M₁[X].

Le nombre k est produit de q nombres premiers qui ne divise pas n. Un récurrence sur k permet de conclure, en effet si k est égal à 1 nous sommes dans la démonstration précédente. Si le raisonnement est vraie pour le produit de k nombres premiers, alors il suffit de remarquer que si z' est égal à z à la puissance k nombres premiers est racine et le raisonnement précédent montre que z' à la puissance un nombre premier premier avec n est encore racine. Et la récurrence est terminée.

En conclusion, le polynôme minimal de z contient pour racine au moins toutes les racines du polynôme cyclotomique. Le polynôme cyclotomique divise donc le polynôme minimal. Comme celui-ci est irréductible, l'égalité est établie.

[modifier] Propriétés de l'extension cyclotomique

L'extension cyclotomique est le corps de rupture du polynôme, c'est à dire le plus petit corps contenant une racine primitive n-ième d'un polynôme cyclotomique. Il possède des propriétés fortes, à l'origine de nombreuses applications:

L'extension cyclotomique est un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels de dimension φ(n).

Cette propriété est générale aux corps de ruptures. La démonstration est donnée dans l'article Extension algébrique.

L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc galoisienne.

Cela signifie que le plus petit corps contenant une racine du polynôme contient aussi toutes les racines du polynôme. Dire que ce corps est une extension galoisienne signifie que les polynômes minimaux de ce corps n'ont pas de racines multiples (ce qui est toujours vraie pour les extensions sur les nombres rationnels) et que tout les morphismes de ce corps dans les nombres complexes ont pour image le corps lui-même. Ce sont donc des automorphismes. Ils forment une structure de groupe appelé groupe de Galois. La théorie de Galois indique que c'est la bonne structure pour rechercher une expression des racines par radicaux.

L'extension cyclotomique est abélienne.

Cela signifie que le groupe de Galois est commutatif. L'équation polynômiale cyclotomique est alors résoluble par radicaux. Autrement dit les solutions s'expriment à l'aide des uniques quatre opérations (plus, moins, diviser et multiplier) et des racines p-ième appliquées un nombre fini de fois sur des nombres rationnels et l'imaginaire pure i. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Abel. Il est ainsi possible par exemple de résoudre par radicaux l'équation cyclotomique donnant la racine dix-septième de l'unité. C'est une condition nécessaire pour la résolution de la construction par la règle et le compas du polygone régulier à dix-sept cotés.

L'extension cyclotomique est une tour d'extension quadratique si et seulement si n est de la forme suivante:

$n=2^k \prod_iF_i\;$

Où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts.

Ce résultat est aussi connu sous le nom de Théorème de Gauss-Wantzel. Une tour d'extension quadratique est un corps tel que pour chaque élément x du corps, il existe une suite de sous-corps K₀, K₁, ..., K_p avec K₀ égal au corps de base, ici celui des rationnels, K_p contient x et pour tout i entre 1 et p, K_i contient K_{i - 1} et est un espace vectoriel de dimension 2 sur K_{i - 1}.

Dire que K_i contient K_{i - 1} et est un espace vectoriel de dimension 2 sur K_{i - 1} revient à dire que tout élément de K_i s'exprime comme la somme d'un nombre de K_{i - 1} et d'une racine carré d'un nombre de K_{i - 1}. Cette propriété est démontrée dans l'article Extension quadratique.

Or l'article sur les nombres constructibles montre qu'un point est constructible si et seulement si il vérifie cette propriété. Cette propriété permet donc de déterminer la liste des polygones constructibles et assure qu'ils le sont effectivement.

Un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme $2^{2^k} + 1$ où k est un entier. Les nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Démonstrations

L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc une galoisienne.

L'extension contient z et donc toutes ses puissances, or les puissances de z forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que Q(z) est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels (un corps parfait est un corps où tous les polynômes irréductibles sont séparables c'est à dire n'ont pas de racines multiples dans la clôture algébrique) un corps de décomposition est toujours une extension de Galois.

L'extension cyclotomique est abélienne.

Soit d un entier plus petit que n et qui ne divise pas n. Alors z^d est une racine du polynôme cyclotomique et il existe au moins un morphisme qui a pour image de z z^d (cf première proposition du paragraphe Extension algébrique et sur-corps). Il n'existe qu'un unique moyen de prolonger sur l'extension le morphisme m_d qui à z associe z^d. En effet m_d(zⁱ) = m_d(z)ⁱ = z ^i.d. Or la famille des z ⁱ si i varie de 0 à φ(n) - 1 forme une base de l'extension. Les automorphismes du groupe de galois sont donc parfaitement déterminés.

Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\mathbb{Z} / \varphi(n)\mathbb{Z}$ du groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme m_d. Cette application est clairement un isomorphisme de groupe. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, et même cyclique. ce qui termine la démonstration.

Condition nécessaire pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Par définition d'une tour d'extension quadratique, une condition nécessaire est que la dimension de l'extension soit une puissance de deux. Etudions alors les entiers n tel que φ(n) soit une puissance de deux.

Remarquons tout d'abord que si n est égal à p.q avec p et q premiers entre eux alors nous avons l'égalité suivante φ(n) = φ(p).φ(q) (cf l'article Indicatrice d'Euler). Considérons alors la décomposition de n en facteur premier (cf l'article Théorème fondamental de l'arithmétique).

$n= \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\;$

L'indicatrice d'Euler d'une puissance d'un nombre premier p^α est égale à (p - 1). p^{α -1}. Il suffit donc de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le facteur (p - 1). p^{α -1} soit une puissance de deux et appliquer cette condition à chacun des facteurs de l'égalité précédente. Deux cas se présentent, soit p est égal à 2 et toute valeur de α est acceptable, soit p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 avec k un entier strictement positif et α est égal à 1.

Montrons par contraposé que si p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 alors k est une puissance de deux. Si tel n'est pas le cas, alors il existe deux entiers a et b tel que k = a . 2^b où a est un entier impair et b un entier. L'égalité suivante est vérifiée p = 1 + c^a ou c = 2^b. Dans ce cas, comme a est impair, on a l'égalité:

$p = (1 + c^a) = (1 + c). \sum_{1=0}^{a-1} (-1)^i c^i\;$

L'égalité précédente montre que 1 + c est un diviseur de p. Par contraposé, si p est premier, il est donc égal à un nombre de Fermat.

En conclusion n est de la forme suivante:

$n=2^k \prod_iF_i\;$

Où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts. Et la condition nécessaire est démontrée.

Condition suffisante pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Le polynôme cyclotomique est alors de degré φ(n) et est une puissance de deux. Notons 2^k ce degré. Le groupe de Galois est alors le groupe cyclique de cardinal 2^k.

Montrons que si l est un entier inférieur à k il existe un sous-groupe G_l du groupe cyclique de cardinal 2^l et tel que si l est non nul alors G_{l - 1} est inclu dans G_l. Définissons G_l comme le sous-groupe engendré par la classe de 2^k-l. Par définition G_{l - 1} est inclu dans G_l si l est non nul. De plus le cardinal de G_l est clairement égal à 2^k-l.

On remarque ensuite que G_l-1 est un sous-goupe distingué de G_l car ce sont des groupes abéliens, donc tout sous-goupe est distingué. Ensuite le cardinal du groupe quotient de G_l par G_{l - 1} est deux.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois assure que si K_{k- l} est le sous-corps de l'extension qui laisse invariant tous les automorphismes de G_l (on a ici identifié le groupe de Galois et le groupe cyclique) alors si l est non nul K_l est une extension galoisienne de K_{l - 1} de dimension deux donc quadratique, que K₀ est égal au corps des nombres rationnels et que K_k est le corps de décomposition du polynôme cyclotomique.

Nous avons donc monté une tour d'extension quadratique du corps de décomposition et le théorème est démontré.

[modifier] Applications

[modifier] Cas du pentagone

Construction d'un pentagone

Article associé : Construction du pentagone régulier à la règle et au compas

Si la théorie de Galois prend un aspect quelque peu abstrait, elle donne néanmoins une méthode de résolution effective de l'équation cyclotomique et en conséquence propose un mode de construction à la règle et au compas des polygones constructibles (cf l'article nombre constructible). Etudions le pentagone à cinq cotés.

Si l'équation initiale est un polynôme du quatrième degré, elle est néanmoins résoluble avec une quantité de calcul faible.

$\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

Le corps de décomposition, noté traditionnellement F₅ est de dimension quatre. Son groupe de Galois G est le groupe cyclique d'ordre quatre. Il admet donc un générateur noté ici m et un sous-groupe non trivial H, contenant deux éléments, l'identité et m². L'application qui à tout élément de l'extension associe son conjugé est un automorphisme qui laisse F₅ stable, Q invariant et est d'ordre deux, en conséquence m² est l'application conjuguée. L'objectif est donc de trouver le sous-corps de F₅ de dimension deux sur Q, laissé stable par l'application conjuguée. Un jeu de permutation des racines permet alors de ramener la résolution de l'équation à trois équations simples du second degré.

Il est alors relativement simple d'obtenir une construction à la règle et au compas. Sur la figure illustrative, il est par exemple immédiat de remarquer que la longueur du segment BI est le quart de la racine carrée de cinq, le radical de la première extension.

Calcul

[modifier] Cas de l'heptadécagone

Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, un polygone régulier de 17 cotés

Le nombre premier de Fermat suivant est dix-sept. Il correspond à l'heptadécagone, le polygone régulier à dix-sept cotés. Si la logique précédente s'applique avec le même succès, les calculs sont néanmoins plus complexes. Le polynôme à factoriser est maintenant de degré seize. En conséquence, ce cas n'a pas été traité avant une compréhension profonde des polynômes cyclotomiques. L'aspect calculatoire de la résolution du problème est indéniable, en rechange il relativement limité pour une équation de degré seize sans racine évidente ou multiple.

La méthode de résolution proposée ici suit pas à pas la démarche de la théorie de Galois. Ce groupe est le groupe cyclique d'ordre seize. Il contient donc trois sous-goupes non triviaux. H₁ est un sous-groupe à huit éléments, il contient les multiples de deux, H₂ contient les multiples de quatre et H₃ contient deux éléments le neutre et le multiple de huit, la même remarque que celle du paragraphe précédent montre que l'élément non neutre correspond à l'application conjugée. Les sous-corps associés forment une chaîne d'extensions strictement emboitée tel que la dimension d'un corps est deux sur le corps précédent.

$\mathbb{Q} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_1} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_2} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_3} \sub \mathbb{F}_{17}\;$

L'objectif est alors de trouver un générateur de chaque extension dans la précédente. La technique utilisé dite des périodes de Gauss est toujours la même. Explicitons la pour la première extension. Soit m² le générateur du premier groupe (on a choisi m générateur du groupe de Galois), Considérons la somme des huit composées successives de z la première racine primitive, et la somme des huit autres racines:

$u_1=\sum_{i=0}^7 m^{2i}(z)\quad et \quad u_2=\sum_{i=0}^7 m^{2i+1}(z)\;$

Alors ces deux éléments sont invariant par le générateur m². De plus, leur somme est égal à -1 car c'est la somme de toutes les racines primitives. Ils sont donc de la forme u₁ = a + b.r et u₂ = a - b.r où a et b sont des rationnels et r le radical générateur de l'extension, car nous sommes dans une extension quadratique. Leur produit est donc encore rationnel. On en déduit une équation du type P₁[X] = 0 avec P₁[X] un polynôme du deuxième degré.

Réitérer trois fois cette méthode donne alors la solution.

Calcul

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

↑ Pierre-Laurent Wantzel Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas 1837
↑ Al-Khawarizmi Abrégé du calcul par restauration et comparaison
↑ Gerolamo Cardano Ars Magna 1545
↑ Joseph-Louis Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations 1770
↑ Paolo RuffiniLa théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu'il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4 1799
↑ Niels Henrik Abel Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré 1824
↑ Evariste Galois Manuscrit de Galois dans Journal des mathématiques pures et appliquées 1846
↑ Heinrich Weber Lecture en algèbre 1895
↑ David Hilbert La théorie des corps de nombres algébriques 1997
↑ Emil Artin Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes 1927

[modifier] Liens externes

(fr) polynôme cyclotomique à petite dose site homéomath.
(fr) polynôme cyclotomique niveau license
(fr) polynôme cyclotomique par les mathématiques.net
(en) le site de Saint Andrew pour les références historiques]

[modifier] Références

JP Escofier Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigées Masson Paris, 1997

S. Lang Algebre Dunod 2004

P. Samuel Théorie algébrique des nombres Hermann Paris 1971

Articles de mathématiques en rapport avec la Théorie de Galois

Modifier

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../p/o/l/Polyn%C3%B4me_cyclotomique.html »

Catégories : Polynôme remarquable • Théorie de Galois • Corps cyclotomiques