Théorème fondamental de l'arithmétique

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En mathématiques, et en particulier en théorie des nombres, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique énonce que chaque entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon. Par exemple, nous pouvons écrire

$6936=2^3\times3\times17^2$ ou encore $1200=2^4\times3\times5^2$

et il n'existe aucune autre factorisation de 6936 ou 1200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.

Notons que le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.

[modifier] Applications

Le théorème établit l'importance des nombres premiers. Essentiellement, ils sont les « briques élémentaires de construction » des entiers positifs, chaque entier positif contenant des nombres premiers d'une manière unique.

La connaissance de la factorisation en nombres premiers d'un entier donne la liste complète de tous les diviseurs de cet entier. Par exemple, la factorisation précédente de 6936 nous indique que les diviseurs positifs de 6936 sont de la forme

$2^a\times3^b\times17^c\ {\rm avec }\ 0\le a\le3\ ,\ 0\le b\le1\ ,\ 0\le c\le2$

Ceci forme un total de 4 × 2 × 3 = 24 diviseurs positifs.

Une fois que les factorisations premières de deux nombres sont connues, leur PGCD et leur PPCM peuvent être trouvés rapidement. Par exemple, comme ci-dessus, nous pouvons voir que le Plus Grand Commun Diviseur de 6936 et 1200 est 2³ × 3 = 24. Néanmoins, si les factorisations premières ne sont pas connues, l'utilisation de l'algorithme d'Euclide requiert généralement beaucoup moins de calculs que la factorisation de deux nombres.

Le théorème fondamental assure que les additives et multiplicatives sont complètement déterminées par les valeurs prises par les puissances de nombres premiers.

[modifier] Démonstration

La démonstration est constituée de deux parties : premièrement, nous avons à montrer que (1) chaque nombre peut vraiment être écrit comme un produit de nombres premiers ; puis nous avons à montrer que (2) deux représentations d'un même nombre sont essentiellement les mêmes.

(1) Supposons qu'il existe des entiers strictement positifs qui ne puissent pas être écrit comme un produit de nombres premiers. Appelons n le plus petit parmi ces nombres. Ce nombre n n'est pas 1, car 1 est le produit de zéro nombre premier. Il n'est pas non plus un nombre premier, car tout nombre premier est le produit d'un seul nombre premier, à savoir lui-même. Donc n = ab où a et b sont, deux entiers strictement positifs inférieurs à n. Mais, comme n est le plus petit nombre pour lequel le théorème tombe en défaut, a et b peuvent, tous les deux, être écrit comme des produits de nombres premiers. Mais alors n = ab peut être écrit comme un produit de nombres premiers, ce qui aboutit à une contradiction.

(2) En ce qui concerne l'unicité de la preuve, ceci tourne autour du fait suivant : si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b (preuve : si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux et l'identité de Bézout donne des entiers x et y tels que que px + ay = 1. En multipliant par b, nous obtenons pbx + aby = b. Les deux parties de la somme du membre de gauche sont divisibles par p, donc le membre de droite est aussi divisible par p.) Maintenant, prenons deux produits de nombres premiers qui sont égaux. Prenons n'importe quel nombre premier p du premier produit. il divise le premier produit, et, de là, aussi le second. Par ce qui précède, p doit alors diviser au moins un facteur dans le second produit. Mais les facteurs sont tous des nombres premiers eux-mêmes, donc p doit être égal à un des facteurs du second produit. De plus, nous pouvons donc annuler p des deux produits. En continuant de cette manière, nous voyons que les facteurs premiers des deux produits coïncident précisément.

Une autre démonstration de l'unicité de la factorisation première d'un entier donné utilise la descente infinie : en supposant qu'un certain entier peut être écrit comme (au moins) deux produits différents de nombres premiers, alors il doit exister un plus petit entier s avec ce genre de propriété. Appelons les deux produits de s p₁ × ... × p_m et q₁ × ... × q_n. Aucun p_i (avec 1 ≤ i ≤ m) ne peut être égal à aucun q _j (avec 1 ≤ j ≤ n), sinon il existerait un entier plus petit factorisable de deux manières (en enlevant les facteurs premiers communs des deux produits) qui violerait notre affirmation. Nous pouvons maintenant assurer sans perte de généralité que p₁ est un facteur premier plus petit que n'importe quel q _j (avec 1 ≤ j ≤ n). Divisons q₁ par p₁ : il existe des entiers d et r tels que q₁ = p₁ × d + r avec 0 < r < p₁ (r ne peut être 0 puisque q₁ est premier et p₁ < q₁). Par substitution dans q₁ × ... × q_n nous obtenons immédiatement p₁ × ... × p_m = p₁ × d × q₂ × ... × q_n + r × q₂ × ... × q_n. On voit que p₁ divise le premier membre de l'égalité ci-dessus ainsi que le premier terme du second membre. Il divise donc aussi r × q₂ × ... × q_n. Or comme r < p₁ < q₁ on voit que r × q₂ × ... × q_n est strictement inférieur à s et est donc à factorisation première unique. Cette factorisation s'achève en factorisant r. Mais le facteur premier p₁ ne peut être aucun des q _j (2≤j) ni aucun des facteurs premiers de r puisque r < p₁ d'où la contradiction. Donc, l'affirmation de départ doit être fausse.

[modifier] Généralisations

En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres structures. L'existence d'une factorisation est étendue aux entiers relatifs aux polynômes à coefficients dans un corps ainsi qu'à un nouvel anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss. La notion de nombre premier est alors étendue. Elle s'applique de la même manière pour les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss.

Dans tous ces cas, la décomposition est complétée par un facteur correspondant à un élément inversible. Dans le cas des entiers relatifs le facteur est égal à (+ 1) si le nombre est positif et (- 1) s'il est négatif.

La décomposition est encore généralisée à toute une classe d'anneaux : les anneaux factoriels.