Groupe cyclique

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En mathématiques et plus précisément en algèbre, un groupe cyclique est un groupe de cardinal fini dans lequel il existe un élément a tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'une puissance de a. Sa structure est simple : il n'existe, à un isomorphisme près, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Les groupes cycliques sont importants en théorie des groupes et de manière générale en algèbre. On les retrouve, par exemple, en théorie des anneaux et dans la théorie de Galois.

Sommaire

1 Définitions
2 Motivations
3 Théorème fondamental
4 Propriétés
- 4.1 Théorème chinois
- 4.2 Indicatrice d'Euler
5 Morphisme
- 5.1 Endomorphisme
- 5.2 Caractère
6 Théorie des anneaux
7 Voir aussi
- 7.1 Liens externes
- 7.2 Références

[modifier] Définitions

Un groupe monogène est un groupe contenant un élément a tel que, pour tout élément x du groupe, il existe un entier n vérifiant x = a ⁿ.
Soit G un groupe et a un élément de G, alors le groupe engendré par a est le plus petit sous-groupe de G contenant a. Le sous-groupe est en général noté <a>.
L'ordre d'un élément d'un groupe est l'ordre du sous-groupe engendré par cet élément. L'ordre de a est noté |a| ou o(a).
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.
Un élément générateur ou primitif d'un groupe cyclique est un élément qui a pour groupe engendré le groupe cyclique entier.

[modifier] Motivations

Les groupes cycliques sont importants, à la fois dans le contexte des groupes abéliens, c'est-à-dire des groupes commutatifs, mais aussi pour l'étude des groupes finis, particulièrement pour l'étude des groupes abéliens de type fini.

Les groupes abéliens de type fini sont les groupes abéliens engendrés par un nombre fini d'éléments. Ils sont tous isomorphes à un produit de groupes cycliques et d'une puissance de $\mathbb Z$ , le groupe additif des entiers relatifs. La connaissance de $\mathbb Z$ et des groupes cycliques permet donc de comprendre et de décomposer tous les groupes abéliens de type fini.

Dans le cas des groupes finis, tout sous-groupe monogène est cyclique. Les groupes cycliques sont donc très présents dans la théorie des groupes. Si le groupe fini est abélien, alors il est isomorphe à un produit de groupes cycliques.

Les groupes cycliques jouent un rôle important dans la théorie des anneaux et dans la théorie de Galois (c'est-à-dire la théorie des corps). On les trouve à la fois pour comprendre les unités d'un anneau ou d'un corps ou comme élément constitutif du groupe de Galois pour les extensions abéliennes.

[modifier] Théorème fondamental

Les groupes cycliques possèdent une structure simple à comprendre. Ils forment une structure telle que les puissances d'un élément, bien choisi, engendrent tout le groupe. Cette situation est illustrée dans la figure suivante, qui présentent les racines complexes de l'unité sur un cercle.

L'élément neutre est représenté par un point noir, un élément générateur est le premier élément en tournant vers la droite, le carré de cet élément générateur s'obtient en tournant toujours dans la même direction. Et ainsi de suite. L'élément n+1 est égal à l'élément 1, n+2 à l'élément 2, et ainsi de suite.

C_n désigne, suivant la convention habituelle, le groupe cyclique d'ordre n.


C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈

La traduction en termes mathématiques est alors la suivante :

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, alors G est isomorphe à Z/nZ.

Ce théorème est important, car il démontre la simplicité d'un groupe cyclique. À la fois, ce groupe est unique pour un ordre donné et, de plus, sa structure est limpide. De ce théorème découlent immédiatement quelques corollaires :

Tout groupe cyclique est abélien.
Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q, où p et q sont deux entiers strictement positifs, alors il n'existe qu'un seul sous-groupe H d'ordre p et, si g est un élément primitif de G, alors g^q est un élément primitif de H.
Le quotient d'un groupe cyclique par un sous-groupe quelconque est un groupe cyclique.
Soit p un nombre premier : le groupe cyclique d'ordre p est le seul groupe d'ordre p, à un isomorphisme près.

Démonstrations

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, alors G est isomorphe à Z/nZ.

Si le groupe est cyclique, alors il contient au moins un élément primitif g. Considérons alors $φ$ l'application de Z dans g qui à un entier p associe g ^p. Cette application est un morphisme de groupe, en effet:

$\forall p,q\in \mathbb{Z} \quad \varphi (p+q)=g^{p+q}=g^p.g^q=\varphi(p).\varphi(q)$

Par définition d'un groupe cyclique, le morphisme est surjectif. Donc la décomposition fondamentale des morphismes (cf morphisme de groupe) montre que G est isomorphe à au groupe quotient Z/Ker φ. Le noyau de φ est non nul car sinon il existerait une bijection d'un ensemble de cardinal infini : Z avec un ensemble de cardinal fini G. Le noyau de φ est donc un sous-groupe non vide de Z, il existe donc n un entier strictement positif tel que Ker φ = n Z (cf paragraphe exemples de sous-groupes). La démonstration est donc achevée.

Tout groupe cyclique est abélien.

La démonstration précédente montre l'existence d'un morphisme surjectif d'un groupe abélien : de Z vers le groupe cyclique. La propriété de commutativité du groupe de départ est donc transmise au groupe cyclique.

Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q, où p et q sont deux entiers strictement positifs, alors il n'existe qu'un seul sous-groupe H d'ordre p et, si g est un élément générateur de G, alors g^q est un élément générateur de H.

Remarquons tout d'abord que tout élément g^r (comme g est générateur du groupe, pour tout élément du groupe, il existe un unique entier r compris entre 1 et p.q, tel qu'il est égal à g^r) d'un sous-groupe d'ordre p de G vérifie l'équation du théorème de Lagrange :

$g^{rp}=1\;$

On en déduit que r.p est un multiple de p.q et, donc, r est un multiple de q. Il existe exactement p valeurs possibles de r, tel que r soit un multiple de q et soit compris entre 1 et p.q. Il n'existe donc que p candidats à être élément d'un sous-groupe cyclique d'ordre p. Il ne peut donc exister qu'un seul sous-groupe cyclique d'ordre p dans G.

Réciproquement, le sous-groupe engendré par g^q est un sous-groupe monogène à p éléments. Il existe donc bien un sous-groupe à p éléments, ce qui termine la démonstration.

Le quotient d'un groupe cyclique par un sous-groupe quelconque est un groupe cyclique.

Les puissance d'un générateur du groupe parcourrent l'intégralité du groupe, par passage au quotient, la classe du générateur engendre le groupe quotient.

Pour p nombre premier, le seul groupe d'ordre p est le groupe cyclique d'ordre p à un isomorphisme près.

Soit g un élément du groupe d'ordre p. Il engendre un sous-groupe à au moins deux éléments 1 et g. Le théorème de Lagrange montre que le sous-groupe engendré par g a pour ordre un diviseur de p. Or, p n'a pas d'autre diviseur strictement supérieur à 1 que lui-même. Le sous-groupe engendré par g est donc le groupe entier. Il est donc monogène et d'ordre fini, c'est-à-dire cyclique.

[modifier] Propriétés

[modifier] Théorème chinois

Le théorème chinois permet la décomposition d'un groupe cyclique en groupes cycliques plus petits et, en général, plus simples. Ce théorème est largement utilisé en théorie algébrique des nombres et plus spécifiquement en arithmétique modulaire. Il est aussi à la base de nombreux algorithmes de cryptographie, on peut citer par exemple celui qui est utilisé dans le cryptage RSA. En théorie des groupes, le théorème s'énonce de la manière suivante :

Soit u et v deux entiers premiers entre eux, alors le groupe cyclique d'ordre u.v est isomorphe au produit des groupes cycliques d'ordre u et v.

Note : Si u et v ne sont pas premiers entre eux, alors le groupe produit ne contient pas d'élément d'ordre supérieur au ppcm de u et de v. Ce groupe n'est donc pas isomorphe au groupe cyclique d'ordre u.v.

Démonstrations

[modifier] Indicatrice d'Euler

Le nombre d'éléments générateur d'un groupe cycliques correspond à une question importante. Elle intervient par exemple dans les calculs de déterminations des polynômes cyclotomiques ou dans la Fonction zeta de Riemann. Cette fonction est en général notée $φ$ et si n est un entier, φ(n) désigne le nombre d'éléments générateurs d'un groupe cylique d'ordre n.

La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient par l'expression de l'ordre u du groupe donnée par le théorème fondamental de l'arithmétique :

$Si\;u=\prod_{i=1}^q p_i^{k_i}\quad alors \quad \varphi (u)=\prod_{i=1}^q (p_i-1).p_i^{k_i-1}$

Dans la formule, p_i désigne un nombre premier et k_i un entier strictement positif.

Démonstration

[modifier] Morphisme

[modifier] Endomorphisme

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, g un générateur et $ψ$ un endomorphisme. La structure de G est entièrement déterminée par l'élément g. En conséquence, ψ est entièrement déterminé par l'image de g.

Soit p l'entier tel que ψ(g) = g ^p.

Réciproquement, si p est un entier (que l'on peut choisir entre 1 et n), alors l'application ψ qui à g^k associe g ^p.k définit un endomorphisme.

En effet :

$\forall k,l\in \mathbb{Z} \quad \psi(g^{k+l})=g^{p(k+l)}=g^{pk}.g^{pl}=\psi(g^k).\psi(g^l)$

On en déduit les premières propriétés sur les endomorphismes des groupes cycliques :

Un endomorphisme sur un groupe cyclique est entièrement déterminé par l'image d'un générateur.
Il existe exactement n endormorphismes sur un groupe cyclique d'ordre n.

L'analyse de la fonction indicatrice d'Euler montre que:

Il existe exactement φ(n) automorphismes d'un groupe cyclique d'ordre n dans lui-même, si φ désigne l'indicatrice d'Euler.

On peut remarquer, dans le cas où l'ensemble d'arrivée est différent de l'ensemble de départ, que si le groupe de départ est cyclique, alors l'image du morphisme est aussi cyclique.

[modifier] Caractère

Un caractère correspond au morphisme d'un groupe dans un groupe (C_*,.), où C désigne le corps des nombres complexes. Cette notion est au coeur d'une théorie importante, celle de la représentation des groupes.

Il existe exactement n caractères pour un groupe cyclique d'ordre n.
L'image d'un caratère est l'ensemble des racines pièmes de l'unité, où p est le cardinal de l'image.

En conséquence, tout caractère a pour image un groupe, sous-groupe de l'ensemble des racines nièmes de l'unité, où n est le cardinal du groupe. De plus, l'ensemble des racines nièmes de l'unité forme un groupe cyclique.

Soit g un générateur du groupe cyclique et r une racine nième de l'unité, alors il existe un et un seul caractère $ψ$ tel que l'image de g par $ψ$ soit égal à r. De plus, $ψ$ est défini par l'égalité suivante :

$\forall m\in \mathbb{Z} \quad \psi(g^m)=r^m$

Démonstrations

[modifier] Théorie des anneaux

La première analyse montre l'existence d'un isomorphisme de groupe entre Z/n Z et le groupe cyclique d'ordre n. On peut également remarquer que n Z est aussi un idéal de l'anneau Z. En conséquence, Z/n Z dispose aussi d'une structure d'anneau. Cet anneau dispose de propriétés remarquables et largement utilisées, par exemple en théorie algébrique des nombres.

L'anneau Z/n Z est un corps si et seulement si n est un nombre premier.

On peut de plus remarquer que tout corps de caractéristique finie n contient comme corps engendré par l'unité un corps isomorphe à Z/n Z.

Le groupe des unités de l'anneau Z/n Z est un groupe abélien de cardinal φ(n), où φ désigne l'indicatrice d'Euler. Ce groupe est généralement noté (Z/n Z)^*.

Cette propriété démontre le petit théorème de Fermat généralisé. Soient a et n deux entiers strictement positifs ; si a est premier avec n, alors a^φ(n) est congru à 1 modulo n.

Si n est premier, alors le groupe des unités (Z/n Z)^* est un groupe cyclique d'ordre n - 1.

Si n n'est pas premier, alors le groupe des unités n'est pas toujours cyclique : ainsi le groupe (Z/15Z)^* contient huit éléments, mais aucun n'est d'ordre supérieur à quatre.

Le groupe des automorphismes de Z/n Z est isomorphe au groupe (Z/n Z)^*.

Démonstrations

L'anneau Z/n Z est un corps si et seulement si n est un nombre premier.

Supposons que Z/n Z soit un corps. Soient alors p et q deux diviseurs de n. La classe de p.q est égale à la classe de zéro, donc comme la structure est celle d'un corps, la classe de p, ou celle de q est nulle. On en conclut que p ou q est égal à n. Il n'existe donc pas de diviseur de n autre que 1 et lui-même.

Réciproquement, supposons que n soit premier. Soit a un élément de Z/n Z différent de zéro. L'application du groupe multiplicatif dans lui-même qui à x associe a.x est injective d'après le raisonnement du paragraphe précédent. Cette application opère dans un ensemble de cardinal fini, elle est donc bijective. L'élément 1 possède un antécédent, que l'on note b. Alors a.b = 1 : nous avons montré que tout élément différent de zéro est inversible pour la multiplication ; cela démontre la réciproque.

Le groupe des unités de l'anneau Z/n Z est un groupe abélien de cardinal φ(n), où φ désigne l'indicatrice d'Euler. Ce groupe est généralement noté (Z/n Z)^*.

Soit g un élément du groupe et p son ordre. S'il n'est pas générateur du groupe, alors il n'est pas premier avec n et il existe un entier q, élément de l'intervalle [1, n[ tel que p.q soit un multiple de n. Le produit de g et de la classe de q est égal à 0 et donc g ne peut être élément du groupe des unités de l'anneau.

Réciproquement, soit g un élément générateur du groupe. La classe de l'unité est donc élément du groupe engendré par g, et il existe un entier p tel que p.g soit égal à 1. La classe de p est alors un élément inverse de g et g est bien un élément du groupe des unités. Par construction de l'indicatrice d'Euler, φ(n) est égal au nombre d'éléments générateurs du groupe, c'est donc bien le cardinal du groupe des unités.

La généralisation du petit théorème de Fermat est immédiate. Si a est premier avec n, sa classe est élément du groupe des unités de Z/n Z. Le théorème de Lagrange montre que la classe de a à la puissance le cardinal du groupe, c'est-à-dire φ(n) est égale à la classe de 1.

Si n est premier, alors le groupe des unités (Z/n Z)^* est un groupe cyclique d'ordre n - 1.

Si n est premier, alors Z/n Z est un corps et (Z/n Z)^* est un groupe abélien d'ordre n - 1 car tous les éléments du corps autres que 0 sont dans ce groupe.

Dans un groupe abélien fini, tout élément à la puissance l'exposant du groupe est égal à l'élément neutre. Donc si e est l'exposant du groupe le polynôme X^e - 1 admet pour racines tous les éléments différents de zéro. Cette équation admet donc n- 1 racines, ce qui montre que e est égal à n - 1.

Il suffit alors de remarquer que tout groupe abélien fini contient un élément dont l'ordre est l'exposant du groupe pour conclure qu'il existe un générateur du groupe multiplicatif.

Le groupe des automorphismes de Z/n Z est isomorphe au groupe (Z/n Z)^*.

On note ici 1 la classe de 1 dans l'anneau Z/n Z. Soit $χ$ l'application du groupe des automorphismes dans (Z/n Z)^* qui à un automorphisme m associe m(1).

L'application a bien pour image le groupe multiplicatif, car l'image par un automorphisme d'un élément générateur du groupe est un générateur du groupe et le groupe multiplicatif est formé des éléments générateurs du groupe.

χ est injective, car l'image de 1 détermine entièrement le morphisme. χ est surjective, car si g est un élément du groupe multiplicatif, alors l'application qui, à la classe de x, associe x.g est un automorphisme.

De plus, χ est un morphisme. En effet, soient m et m' deux automorphismes. Soit p (respectivement p' ) un élément de la classe de m(1) (respectivement m' (1)) Alors:

$\chi (m\circ m')= m(\bar p')=p'm(\bar 1)= \bar p.\bar p'=\chi(m).\chi(m')$