Entier de Gauss

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Carl Friedrich Gauss

En mathématiques, et plus précisement en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers algébriques de l'extension quadratique des rationnel de Gauss. Il s'agit donc d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs.

L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté $\mathbb{Z}(i)\,\!$ . De plus, ce qui est beaucoup plus rare, c'est un anneau euclidien et donc un anneau factoriel.

Ils sont largement utilisés en théorie algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, Leur utilisation a permis à Carl Friedrich Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique.

[modifier] Histoire

Ouvrage traitant des entiers de Gauss 1801

Les entiers de Gauss ont été découverts pour résoudre la question des congruences des carrés étudié dans un premier temps par Fermat (1601 1665). Euler (1707 1783) formalise la notion de résidu quadratique et conjecture la solution c'est à dire la loi de réciprocité quadratique. Legendre (1752 1833) reprend le théorème et propose une preuve^[1] incomplète et insuffisante.

À l'age de 18 ans, Gauss (1777 1855) démontre le théorème. La démonstration est publiée^[2] trois ans plus tard. Gauss considère cette loi comme le joyau de l'arithmétique, l'appelant même le théorème d'or. Pour résoudre cette question, il découvre un ensemble : celui des entiers qui portent maintenant son nom. Ils bénéficient des mêmes propriétés arithmétique que les entiers relatifs. On y trouve la division euclidienne, l'équivalent du lemme d'Euclide, de l'identité de Bézout, des nombres premiers et du théorème fondamental de l'arithmétique. A l'aide de cette structure, il redémontre le théorème des deux carrés conjecturé par Fermat et démontré par Euler et ouvre la voie de l'arithmétique modulaire.

L'utilisation d'une structure comme celle des entiers de Gauss subit des tentatives de généralisation pour s'appliquer à des cubes ou des puissances quelconques. Elles débouchent dans le cas des cubes (cf entier d'Eisenstein) ou des puissances cinquièmes (cf entier de Dirichlet). En 1847 Gabriel Lamé (1795 1870) utilise une méthode d'extension brutale et pense à tort avec démontré le grand théorème de Fermat. Sa méthode est inopérante car, à la différence des entiers de Gauss, son extension ne dispose pas de la propriété d'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique. Kummer (1810 1893) trouve^[3] une solution pour garantir à nouveau cette unicité. Cette méthode permet de généraliser la loi de réciprocité dans de nombreux cas, et prouve le grand théorème de Fermat dans presque tous les cas compris entre 3 et 100 (les exceptions sont 37, 59 et 67).

L'étude de ce type de structure est alors largement développée par des mathématiciens comme Dedekind^[4] (1831 1916) ou Hilbert^[5] (1862 1943) et prend le nom de Théorie des anneaux.

[modifier] Définition

Formellement, l'ensemble des entiers de Gauss Z(i) est l'anneau des entiers algébriques du corps des rationnels de Gauss, c'est-à-dire l'ensemble des rationnels de Gauss dont le polynôme irréductible normalisé est à coefficients entiers.

Il correspond aux nombres complexes qui peuvent être décrit de la façon suivante :

$\mathbb{Z}(i)=\{a+bi \; |\; a,b\in \mathbb{Z} \}.$

Les deux définitions sont équivalentes.

Démonstration

[modifier] Premières propriétés

[modifier] Structure d'anneau

Voir l’article entier algébrique.

Réseau des entiers de Gauss

L'ensemble des entiers de Gauss muni de l'addition et de la multiplication forme un anneau.

Cette propriété est générale aux entiers d'une extension de corps (cf Entier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que l'ensemble est un sous-anneau de l'anneau des rationnels de Gauss (tout corps est aussi un anneau):

$\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i.a_2)-(b_1+i.b_2)=(a_1-b_1)+i.(a_2-b_2)\in \mathbb{Z}(i)$ $\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i.a_2).(b_1+i.b_2)=(a_1.b_1-a_2.b_2)+i.(a_1.b_2+a_2.b_1)\in \mathbb{Z}(i)$

En tant que sous-anneau du corps des rationnels de Gauss, il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau est intégre et commutatif. Il est de plus unitaire et donc de caractéristique nulle.

L'ensemble peut de plus être munis d'une structure de Z module, comme chaque anneau d'entiers algébriques et bénéficie des propriétés inhérentes à ces anneaux. Le module est libre et de type fini. Il possède donc une base, ici la base canonique est (1, i).

[modifier] Norme

Comme tout anneau d'entiers algébriques les entiers de Gauss possède une norme. Si N est cette norme, elle est définie par:

$\forall a_1,a_2 \in \mathbb{Z} \quad N(a_1 + a_2i) = a_1^2 + a_2^2\,$

Elle possède une représentation grahique naturelle, la norme correspond au carré du rayon du cercle de centre l'origine et de rayon le carré du module du nombre. La figure de droite illustre ce fait, le nombre x égal à 1 + i est de norme 2 et y égal à 2 + i est de norme 5.

La norme ici semble incohérente avec celle définie usuellement dans un espace euclidien, une racine carrée est manquante. Leurs origines sont différentes, les généralisations des normes euclidiennes apparaissent comme la racine carré d'une somme de carrés dans un espace de dimension quelconque, dans le cas de la théorie des entiers algébrique, elle apparaît comme une somme de puissance de n si n est la dimension de l'extension. Sous le même mot, se cache deux notions différentes, même si, dans le cas particulier des entiers de Gauss, les formes sont analogues.

La norme est à valeur entière et toujours positive. Elle est de plus multiplicative.

$\forall x,y \in \mathbb{C} \quad N(x.y) = x.\bar x.y.\bar y=x.y.\bar x.\bar y=N(x).N(y)\,$

Le graphique illustre cette propriété x de norme 2 et y de norme 5 ont pour produit un entier de Gauss de norme 10.

La norme permet de démontrer simplement quelques résultats, par exemple la recherche des éléments inversibles de l'anneau.

Le groupe des unités est composé des quatre éléments ayant une norme égale à un : 1, -1, i, -i.

Soit x un élément inversible. Alors N(x.x^-1) = 1 = N(x).N(x^-1) et la norme de tout élément inversible est égale à 1. Réciproquement si x est de norme 1 alors son conjugué est égal à son inverse et x est inversible.

[modifier] Division euclidienne

Voir l’article Division euclidienne.

La norme possède une propriété plus importante : elle permet de définir une division euclidienne.

Soit a et b deux entiers de Gauss tel que b soit non nul, alors il existe un couple d'entiers de Gauss tel que :

$a=b.q+r\quad avec \quad N(r)<N(b)\;$

Illustrons la division euclidienne par un exemple:

$a=-36+242.i\quad b=50+50.i\quad \frac{a}{b}=\frac{103}{50}+\frac{139}{50}i$

L'objectif est de trouver un entier de Gauss q proche de a / b. Par proche on entend que le reste de la division soit de norme plus petite que b. Une autre manière d'exprimer la division euclidienne est de dire que la distance entre a / b et q est strictement inférieure à 1.

Dans l'illustration, le carré contenant a / b est mis en valeur par un fond rouge. Les quatre cotés du carré sont alors candidats à être solution de la division euclidienne. Autour de chaque coté est dessiné un cercle de rayon un, son intersection avec le carré rouge indique la zone où la division est possible. On remarque que tout point du carré est couvert par au moins un cercle. Plus précisement les points du centre sont couverts par quatre cercles, une zone autour de chaque coté est couverte par trois cercles, le reste du carré par deux cercles à l'exception des cotés, couverts par un unique cercle.

En conclusion, la division euclidienne admet toujours de une à quatre solutions, la solution est unique si et seulement si a / b est un entier de Gauss. Dans notre exemple, les trois solutions acceptables sont :

$s_1=2+3.i\quad s_2=2+2.i\quad s_3=3+3.i$

L'unicité de la solution n'est pas si importante, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien.

Démonstration

[modifier] Arithmétique

Voir l’article Anneau euclidien.

La division euclidienne possède des propriétés fortes. Elle permet de construire une arithmétique complète. On parle alors d'anneau euclidien. Cette arithmétique est semblable à celle des entiers.

[modifier] Anneau principal

Un anneau principal est un anneau dont tout les idéaux sont principaux. L'anneau des entiers de Gauss est principal. Cette propriété est vraie pour tout anneau Euclidien.

Pour s'en rendre compte il suffit de considérer un idéal I quelconque et un élément x différent de 0, de plus petite norme dans I. Si y est un élément quelconque de l'idéal, la division de y par x montre que le reste, élément de l'idéal possède une norme plus petite que x, donc est nul.

[modifier] Identité de Bézout

Comme dans tout anneau euclidien, l'identité de Bézout se généralise aux entiers de Gauss. Elle s'exprime de la manière suivante:

Soit l'équation a.x + b.y = c où a et b et c sont des entiers de Gauss. Elle admet des solutions dans l'anneau des entiers de Gauss si, et seulement si, d est un multiple du pgcd.

La démonstration est élémentaire, une division par d ramène au cas ou a et b n'ont pas de diviseurs communs autres que les éléments inversibles. L'ensemble des éléments z de la forme z = a.x + b.y est un idéal contenant celui engendré par a et celui engendré par b, il est donc engendré par un diviseur de a et de b, c'est à dire une unité. Or l'idéal engendré par une unité est l'anneau entier et 1 est solution de l'équation.

[modifier] Lemme d'Euclide

Le lemme d'Euclide indique que :

Si un entier de Gauss a divise un produit d'entiers de Gauss b.c et si a n'a de diviseurs en communs avec b que des éléments inversibles, alors a divise c.

La démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs. Cette propriété est vraie pour tous les anneaux euclidiens.

Gauss est le premier mathématicien ayant saisi la portée de ce lemme. Il garantit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Ce lemme rend possible l'arithmétique tel que nous la connaissons dans Z. C'est la raison pour laquelle il prend parfois le nom de lemme de Gauss, alors qu'il était déjà connu depuis plus de deux milles ans.

[modifier] Théorème fondamental de l'arithmétique

Le théorème s'énonce encore exactement comme dans le cas des entiers relatifs :

Chaque entier de Gauss peut être écrit comme un produit de nombres premiers aux éléments inversibles près d'une unique façon.

Un nombre premier de Gauss est un élément qui n'admet comme diviseur que le produit de lui même par une unité ou une unité et qui n'est pas une unité. L'expression aux éléments inversibles près signifie que la subsitution d'un facteur irréductible par un autre facteur irréductible ne différant que par le produit d'une unité n'est pas considérée comme une décomposition différente.

Une fois encore la démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs, et la propriété est vraie pour tout les anneaux euclidiens. Cette propriété dépasse le cas des anneaux euclidiens, par exemple l'anneau des polynômes sur Z vérifie cette propriété mais n'est pas euclidien. Un tel anneau s'appelle un anneau factoriel.

Un anneau satisfaisant ce théorème dispose alors des notions de ppcm et pgcd et le passage au quotient donne accès à une arithmétique modulaire de même nature que celle des entiers relatifs.

La connaissance fine de cette arithmétique suppose une capacité à caractériser les nombres premiers de Gauss.