Relativité générale

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La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, la présence d'une masse déforme localement l’espace-temps. Le physicien Thibault Damour utilise à ce sujet l'expression imagée d'un espace-temps élastique.

Cette théorie est considérée comme l'œuvre majeure d’Albert Einstein, dont la construction l'occupa de 1907 à son achèvement, réalisé seulement à la fin de 1915. Aucun des nombreux tests expérimentaux effectués n'a pu la mettre en défaut à ce jour.

Sommaire 1 Généralités 1.1 Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation 1.2 Géométrie non euclidienne 2 Relativité de Galilée et relativité restreinte 3 Résumé de la théorie 3.1 Référentiels 3.2 Principe d’équivalence 3.3 Tenseur d’énergie et courbure de l’espace 4 Aspects mathématiques 4.1 Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation 4.2 Modélisation de l'espace-temps 4.3 Géométrie de l'espace-temps 4.3.1 Tenseur métrique 4.3.2 Produit scalaire 4.3.3 Distance élémentaire 4.3.4 Métrique lorentzienne 4.3.5 Notions générales de connexion & dérivée covariante 4.3.6 Connexion associée à la métrique 4.3.7 Description en coordonnées 4.3.8 Tenseur de courbure de Riemann 4.3.9 Tenseur de courbure de Ricci 4.3.10 Courbure scalaire 4.4 Équation d'Einstein 4.5 Tenseur énergie-impulsion 5 Solutions particulières de l'équation d'Einstein 5.1 Problème à deux corps & problème du mouvement 5.1.1 Einstein & le problème du mouvement (1915) 5.1.2 Einstein & le problème du mouvement (1938) 6 Liens internes 7 Bibliothèque virtuelle 7.1 Cours en ligne 7.2 Lectures complémentaires 7.3 Divers 8 Bibliographie 8.1 Vulgarisation 8.2 Ouvrages d'initiation 8.3 Ouvrages techniques 8.4 Aspects historiques 8.5 Biographies d'Einstein 8.6 Machines temporelles 9 Notes

[modifier] Généralités

[modifier] Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

La théorie de la gravitation proposée par Newton au XVIII^e siècle^[1] est basée sur la notion de force de gravitation agissant selon le principe d'action à distance. Ce caractère instantané est incompatible avec la théorie de la relativité restreinte proposée par Einstein en 1905. En effet, selon cette dernière, aucune information ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière dans le vide. Par ailleurs, le principe de l'action à distance repose sur celui de la simultanéité de deux événements : la force que le Soleil exerce sur la Terre à un instant donné est déterminée par leurs propriétés « à cet instant », indépendamment de la distance qui les sépare. La relativité restreinte stipule que le concept de simultanéité de deux événements n'est pas défini^[2] : la proposition précédente est donc incompatible avec la relativité restreinte, censée être universelle. Cette contradiction amène Einstein à développer une théorie de la gravitation qui soit compatible avec la relativité restreinte. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

[modifier] Géométrie non euclidienne

La description géométrique de la théorie physique due à Einstein trouve ses origines dans les avancées de la géométrie non euclidienne, qui résultent des différentes tentatives au cours des siècles de démontrer le cinquième postulat d’Euclide, qui énonce que : « par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite donnée ». Ces efforts culminèrent au XIX^e siècle avec la découverte par les mathématiciens Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky, János Bolyai et Carl Friedrich Gauss que ce postulat pouvait être remplacé par un autre (plusieurs parallèles possibles, ou pas de parallèle du tout), et ne constituait donc qu’un axiome arbitraire. Aucune de ces nouvelles géométries n’est plus « vraie » que celles d'Euclide : il s’agit simplement d’outils conceptuels différents pouvant servir de support à des usages également différents. La surface d’une sphère, par exemple, peut indifféremment être considérée comme la surface d’un objet dans un espace euclidien à 3 dimensions ou dans un espace non euclidien particulier à deux dimensions, la seconde représentation pouvant s’avérer plus commode dans certains cas.

Pour illustrer, si l’univers se caractérise par une telle géométrie, qu’un physicien tient un bâton verticalement, et qu’à une certaine distance, un cartographe mesure sa longueur par une technique de triangulation basée sur la géométrie euclidienne, rien ne garantit qu’il obtiendra le même résultat si le physicien lui apporte le bâton et qu’il le mesure directement.^[3]

La généralisation de ces résultats, dénommée géométrie non euclidienne, fut réalisée par Bernhard Riemann, un élève de Gauss, mais elle fut considérée comme simple curiosité mathématique jusqu’à ce qu’Einstein utilise les travaux de son professeur Hermann Minkowski (qui utilisait des nombres complexes pour obtenir des espaces non euclidiens faciles à traiter en géométrie analytique… et exprima en 1907 dans cette description la transformation de Lorentz !) pour développer sa théorie de la relativité générale.

La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres : cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l’espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, l'espace-temps. En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant c (vitesse de la lumière dans le vide), temps et espace s’altèrent de façon liée, presque tout comme deux coordonnées d’un point en géométrie analytique s’altèrent de façon liée lorsqu’on pivote les axes du repère. Il faut noter cependant qu'à la différence de l'espace euclidien qui est de signature (+,+,+,+) (les longueurs dans toutes les directions sont positives), les longueurs dans la direction temporelle de l'espace-temps de Minkowski sont négatives, c'est-à-dire que sa signature est (-,+,+,+). Il ne s'agit pas là d'un artifice mathématique, mais d'une réelle nécessité physique dans la mesure où seule une telle signature permet d'incorporer naturellement les transformations de Lorentz. L'espace de Minkowski étant néanmoins de courbure nulle on le qualifie d'espace pseudo euclidien^[4]. Un exemple révélateur illustrant la signature particulière de cet espace est donné par un rayon lumineux dont tous les points de la trajectoire sont à distance nulle les uns des autres, ce qui est en accord avec le résultat selon lequel le temps propre écoulé pour un corps se déplaçant à la vitesse c est toujours zéro.

La relativité générale ajouta à cette vision que la présence de matière pouvait déformer localement l’espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites géodésiques - c'est-à-dire intuitivement de longueur extrémale - à travers l’espace-temps ont des propriétés de courbure dans l’espace et le temps. Les géodésiques sont les trajectoires suivies par les particules test (c'est-à-dire dont l'influence sur le champ de gravitation dans lequel elles se déplacent est négligeable, ce qui est le cas par exemple d'un satellite artificiel autour de la Terre ou bien d'un photon passant à côté du Soleil mais pas d'une étoile orbitant autour d'une autre dans un système binaire oscillant rapidement), elles ont donc une importance pratique très importante pour la compréhension intuitive d'un espace courbe.

Le 29 mai 1919, les mesures de la déviation des positions apparentes d’étoiles par Sir Arthur Eddington lors d’une éclipse solaire, malgré quelques imprécisions de mesure, constituèrent la première confirmation de la théorie.

De très nombreuses expériences ont été réalisées depuis et tous les résultats obtenus sont en accord avec la théorie.

On peut citer par exemple une expérience menée par Pound et Rebka à l'université Harvard (1959), qui a permis de détecter un changement de 22,5 m de la longueur d'onde d’une source monochromatique de Cobalt.

Autre conséquence pratique de la relativité générale : les horloges atomiques en orbite autour de la Terre du système de positionnement GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour le ralentissement dû à la gravité terrestre.

[modifier] Relativité de Galilée et relativité restreinte

L'avènement de la relativité restreinte, c'est l'aboutissement du principe d'invariance de Galilée, qui affirme que les lois de la physique sont les mêmes dans des référentiels en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres, mais avec l'abandon du principe de temps absolu, en échange du principe de vitesse universelle c, et l'intégration du temps et de l'espace en un continuum quadridimensionnel. Par la suite, passer à la relativité générale c'est, en rendant déformable (Cf. plus bas) ce continuum, étendre le principe de Galilée en rendant les équations de la physique identiques dans tous les référentiels et plus seulement les référentiels inertiels.

Au XIX^e siècle, le physicien écossais James Clerk Maxwell formula un ensemble d’équations, les équations du champ électromagnétique, qui conduisait à prédire la propagation d'ondes électromagnétiques de vitesse dans un milieu électrostatique de constante ε₀ et magnétostatique de constante μ₀. Cette vitesse phénoménalement élevée, même dans un milieu raréfié comme l'air avait la même valeur que la vitesse de propagation de la lumière. Il proposa que la lumière ne soit rien d'autre qu'une onde électromagnétique.

Alors que les théories corpusculaires de la lumière semblaient compatibles avec le principe de relativité de Galilée, la théorie de Maxwell penchait en faveur de l'existence d'un Éther luminifère envisagé par Huygens. Mesurer la vitesse du système solaire par rapport à ce milieu élastique fut l'objet des expériences d’interférométrie menées par Michelson et Morley. Leurs expériences ont démontré que le vent apparent d'éther était nul, quelle que soit la période de l'année. Supposer que l'éther était constamment accroché à la terre aurait été une remise en cause trop grave du principe de relativité de Galilée. D'autre part, l'éther présentait l'inconvénient d'être à la fois impalpable et très "rigide" puisque capable de propager les ondes à une vitesse phénoménale. Il fallut attendre Einstein en 1905 pour remettre en cause radicalement la notion d'éther, porter au plus haut le principe de relativité de Galilée en postulant que les équations de Maxwell obéissent elles-mêmes à ce principe, et en tirer les conséquences révolutionnaires dans un article resté célèbre : De l’électrodynamique des corps en mouvement. C'est la naissance de la relativité restreinte.

• L'invariance des équations de Maxwell entraîne immédiatement la constance de la vitesse de la lumière c dans tous les référentiels galiléens.

• La notion de temps absolu doit disparaître. Deux groupes de deux horloges parfaitement synchronisées immobiles dans un référentiel galiléen, et de deux horloges parfaitement synchronisées immobiles dans un autre référentiel galiléen présentent des défauts de synchronisation l'un par rapport à l'autre ; la mesure des objets en mouvement montre un raccourcissement ; les vitesses ne s'ajoutent pas ; le champ électrique devient magnétique et réciproquement. Toutes ces transformations des systèmes de coordonnées du continuum espace-temps et du champ électromagnétique sont formalisées par les transformations de Lorentz (paradoxalement mises au point par Lorentz et Henri Poincaré pour défendre l'existence de l'éther).

• En écrivant l'expression de l'énergie cinétique d'un corps de masse m de la manière la plus simple respectant le principe de relativité, Einstein a fait apparaître une énergie de repos E = mc² dont le sens n'éclatera qu'une trentaine d'années plus tard lorsque Lise Meitner aura compris l'origine de l'énergie de fission nucléaire.

[modifier] Résumé de la théorie

[modifier] Référentiels

L’idée centrale de la relativité est que l’on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l’accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel, défini en un point donné. Tout mouvement est alors décrit relativement à ce référentiel. La relativité restreinte postule que ce référentiel peut être étendu indéfiniment dans l’espace et dans le temps. Elle ne traite que le cas des référentiels dits inertiels, autrement dits animés d’une vitesse constante et sans changement de direction. La relativité générale, elle, traite les référentiels accélérés (au sens vectoriel) ou non. En relativité générale, il est admis que l’on ne peut définir un référentiel local avec une précision donnée que sur une période finie et dans une région finie de l’espace (de la même manière, à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte sans distorsion que sur une région limitée). En relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local inertiel. En particulier, la trajectoire de particules libres comme des photons est une ligne droite dans un référentiel local inertiel. Dès que ces lignes sont étendues au-delà de ce référentiel local, elles n’apparaissent plus droites, mais sont connues sous le nom de géodésiques. La première loi de Newton doit être remplacée par la loi du mouvement géodésique.

La trajectoire d’un photon est par exemple une géodésique de longueur… nulle : la partie positive du carré de cette longueur (x²+y²+z²) est en effet égale et opposée à sa partie négative (-c²t²)

Revenons sur la notion de référentiel inertiel. Nous distinguons les référentiels inertiels, dans lesquels un corps libre de toute action extérieure maintient un mouvement uniforme, des référentiels non inertiels, dans lesquels un corps libre subit une accélération dont l’origine est due à l’accélération du référentiel lui-même. Un exemple en est la force centrifuge que l’on ressent lorsqu’un véhicule qui nous transporte effectue un rapide changement de direction, un autre exemple en est la force dite de Coriolis, manifestation de la rotation terrestre. La force centrifuge est fictive et n'est qu'une manifestation de l'inertie (premier principe de Newton).

[modifier] Principe d’équivalence

Parce qu’il n’a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d’inertie (résistance d’un corps à l’accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu’il n’y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre (sans rotation) dans un champ gravitationnel, d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel. En clair, on n’observe pas localement de gravitation dans un référentiel en chute libre, en autant qu'il soit suffisamment petit, par rapport aux moyens de détection, pour qu'on ne puisse pas y détecter d'accélération. Autour de la Terre, la chute libre peut être par exemple une chute vers le sol ou bien le mouvement d’un satellite.

Ce résultat n’est que local, c’est-à-dire valable pour un espace restreint i.e. 'petit'. Dans un volume et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Il s’agit juste d’unifier ce qui est semblable dans les phénomènes afin de les traiter par un mécanisme unique.

Cette équivalence est utilisée dans l’entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique où la force centrifuge contrebalance quelques minutes les forces de gravité, simulant ainsi la « chute libre » d’un corps satellisé (chute libre qui dure indéfiniment, puisque circulaire).

Dans cette perspective, la gravitation observée à la surface terrestre est la force observée dans un référentiel défini en un point de la surface terrestre qui n’est pas libre, mais sur lequel agit toute la roche qui constitue le noyau, et cette force est de nature identique à la force centrifuge qui serait ressentie dans un vaisseau spatial suffisamment éloigné de la Terre pour ne plus guère subir son attraction, et effectuant une manœuvre de changement de direction. Ou encore, le sol empêche un objet de faire sa chute libre en exerçant une force vers le haut (appelée « réaction du sol ») ; en mécanique newtonienne, on a plutôt tendance à considérer que la chute libre est une accélération vers le bas, alors qu’ici, la chute libre est l’état de référence et c’est l’état de repos par rapport au sol qui est une accélération vers le haut.

Le principe d’équivalence revient à considérer, pour résumer, que la masse inertielle et la masse gravitationnelle représentent une seule et même chose.

[modifier] Tenseur d’énergie et courbure de l’espace

Mathématiquement parlant, Einstein modélise l’espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur impulsion-énergie en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité de matière et d’énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes).

Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l’espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l’espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie de l’espace-temps est d’imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d’un objet massif, une boule par exemple.

Le chemin le plus court entre deux points - ce qui reste la définition de la « ligne droite » - ne sera alors pas le même qu’en l’absence de déformation : si la trajectoire passe trop près de la bille, en effet, le parcours est « allongé » par le creusement de la feuille de caoutchouc. Remarquons que nous n’avons à prendre en compte dans cette analogie ni le temps ni la gravité, ce qui est normal puisque c’est eux que nous désirons décrire en sortie.

En transposant cette image dans l’espace physique, la présence d’un corps massif affectera la courbure de l’espace, ce qui semblera vu de l’extérieur altérer la course d’un rayon lumineux ou d’un objet en mouvement qui passe dans son voisinage. Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : « La masse et l’énergie disent à l’espace-temps comment se courber, et la courbure de l’espace-temps dit à la matière comment se comporter ».

Cela a pour conséquence en astronomie l’effet de mirage gravitationnel (parfois nommé lentille gravitationnelle à tort, car n’ayant les propriétés ni d’une lentille convergente - ce que l’on voit immédiatement si l’on trace plus de quatre rayons ! - ni celles d’une lentille divergente).

Cette notion de courbure de l’espace explique la courbure des rayons lumineux au voisinage d’un astre massif, qui ne pouvait être due à la loi de Newton si les photons n’ont pas de masse.

L’équation du champ d’Einstein n’est pas une solution unique et il y a de la place pour d’autres modèles, s’ils sont en accord avec les observations.

La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique, et le remplacement de l’équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale.

Peu de physiciens doutent qu’une telle Théorie de Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d’application, de la même manière que cette dernière permet de prédire les lois de la gravitation de Newton dans les limites des faibles vitesses (dites vitesses non relativistes).

L’équation du champ contient un paramètre « supplémentaire » appelé la constante cosmologique Λ qui a été introduite à l’origine par Einstein pour qu’un univers statique (c’est-à-dire un univers qui n’est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.

Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : l’univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations de l’astronome Edwin Hubble dix ans plus tard démontrèrent que l’Univers était en fait en expansion. Donc Λ fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu’une valeur non nulle de Λ est nécessaire pour expliquer certaines observations.

L’étude des solutions de l'équation d'Einstein (Cf. paragraphe suivant) est une branche de la Physique nommée cosmologie. Elle permet notamment d’expliquer l’excès de l’avance du périhélie de Mercure, de prédire l’existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d’étudier les différents scénarios d’évolution de l’Univers. Notons que l’astrophysicien bien connu Stephen Hawking a démontré qu’un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.

Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser avec les satellites LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement de la Lune de deux mètres par an comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.

[modifier] Aspects mathématiques

[modifier] Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

Mathématiquement, la force de gravitation de Newton dérive d'une énergie potentielle. Le potentiel de gravitation associé à cette énergie potentielle obéit à l'équation de Poisson, qui n'est pas covariante sous transformation de Lorentz. La théorie de la gravitation de Newton n'est donc pas compatible avec le principe fondamental de relativité restreinte énoncé par Einstein en 1905.

Ce principe étant supposé avoir une validité universelle, Einstein va chercher une théorie de la gravitation qui soit compatible avec lui. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

[modifier] Modélisation de l'espace-temps

Notre perception intuitive nous indique que l'espace-temps apparait régulier et continu, c'est à dire « sans trous ». Mathématiquement, ces propriétés vont se traduire par le fait que l'espace-temps sera modélisé par une variété différentielle lisse^[5] à 4 dimensions M₄, c'est-à-dire un espace à 4 dimensions pour lequel le voisinage de chaque point ressemble localement à un espace euclidien à 4 dimensions.

[modifier] Géométrie de l'espace-temps

NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW ^[6]

Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.

[modifier] Tenseur métrique

La variété différentielle^[7] M est munie d'une métrique lorentzienne définie par un tenseur métrique g, et constitue ainsi une variété lorentzienne, qui constitue un cas particulier de variété pseudo-riemannienne (le qualificatif « lorentzienne » sera précisé plus loin dans le texte ; cf. métrique lorentzienne).

Soit un système de coordonnées quelconque x^μ autour d'un point P, et soient une base locale de T_xM, espace tangent à la variété au point . Un vecteur tangent s'écrit alors comme la combinaison linéaire :

Les w^μ sont appelée les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur métrique est la forme bilinéaire symétrique :

où dx^μ désigne la base duale de dans l'espace cotangent , c'est à dire la forme linéaire sur T_xM telle que :

Les composantes g_μν(x) du tenseur métrique varient de manière continue dans l'espace-temps^[8].

Le tenseur métrique peut ainsi être représenté par une matrice 4x4 réelle symétrique :

Or, toute matrice 4x4 réelle possède a priori 4 x 4 = 16 éléments indépendants. La condition de symétrie réduit ce nombre à 10 : il reste en effet les 4 éléments diagonaux, auquels il faut ajouter (16 - 4)/2 = 6 éléments non diagonaux. Le tenseur g_μν possède donc seulement 10 composantes indépendantes.

[modifier] Produit scalaire

Le tenseur métrique définit pour chaque point de la variété un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée ; cf. métrique lorentzienne) dans l'espace T_xM euclidien tangent à M au point x. Si et sont deux vecteurs de T_xM, leur produit scalaire s'écrit :

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

Remarque : w^μ désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

[modifier] Distance élémentaire

Considérons le vecteur déplacement élémentaire entre le point P et un point infiniment voisin : . Sa norme infinitésimale invariante est le nombre réel noté ds², et on a  :

Si l'on note « à la physicienne » ε^μ = dx^μ les composantes du vecteur déplacement élémentaire, la longueur infinitésimale s'écrit formellement :

Attention : dans cette formule, dx^μ représente un nombre réel qui s'interprète physiquement comme la « variation infinitésimale » de la coordonnée x^μ, et non une forme différentielle !

[modifier] Métrique lorentzienne

Précisons maintenant l'expression lorentzienne, qui signifie que le tenseur métrique est de signature (1,3). Le principe d'équivalence assure qu'on peut effacer localement un champ de gravitation en prenant un système de coordonnées localement inertiel bien choisi. Dans un tel système de coordonnées localement inertiel X^α autour du point P précédent, l'invariant ds² s'écrit :

où η_αβ est la métrique plate de Minkowski. On adopte ici la convention de signe MTW ^[6] :

On utilisera ici les conventions usuelles suivantes :

• un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps.
• un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, le 4-vecteur position s'écrit dans un système de coordonnées localement inertiel :

Le caractère lorentzien de la variété M assure ainsi que l'espace euclidien tangent à M possède en chaque point un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) ayant 3 valeurs propres strictement positives (associées à l'espace) et une valeur propre strictement négative (associée au temps). En particulier, l'intervalle élémentaire de temps propre séparant deux évènements vérifie :

[modifier] Notions générales de connexion & dérivée covariante

D'une manière générale, on appelle connexion un opérateur qui associe à un champ de vecteurs du fibré tangent TM un champ d'endomorphismes de ce fibré. Si est un vecteur tangent au point , on note usuellement :

On dit que est la dérivée covariante du vecteur dans la direction . On impose de plus à de vérifier la condition supplémentaire que, pour toute fonction f, on ait :

La dérivée covariante vérifie les deux propriétés de linéarité suivantes :

• linéarité en w, c'est à dire que, quelque soient les champs de vecteurs w et u et les nombres réels a et b, on ait :

• linéarité en V, c'est à dire que, quelque soient les champs de vecteurs X et Y et les nombres réels a et b, on ait :

Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant la règle de Leibniz : si et sont deux tenseurs quelconques, on impose que :

La dérivée covariante d'un champ de tenseur le long d'un vecteur w est à nouveau un champ de tenseur du même type.

[modifier] Connexion associée à la métrique

On définit la connexion de Levi-Civita [1] comme étant l'unique connexion vérifiant en plus des conditions précédentes que, pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de TM, on ait :

• (parallélisme).

• , où est le crochet de Lie de X et Y (torsion nulle).

[modifier] Description en coordonnées

La dérivée covariante d'un vecteur est un vecteur, et peut ainsi être exprimée comme une combinaison linéaire de tous les vecteurs de base :

où Γ^ρ représente la composante du vecteur dérivée covariante dans la direction (cette composante dépend du vecteur w choisi).

Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base le long de la direction . On définit alors les symboles de Christoffel Γ^ρ_μν dépendants de 3 indices^[9] par :

La connexion de Levi-Civita est entièrement caractérisée par ces symboles de Christoffel. Appliquons en effet la formule générale :

sous la forme :

Sachant que , on obtient :

Le premier terme de cette formule décrit la "déformation" du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur V. Les indices sommés étant muets, on peut réécrire cette formule sous la forme :

On en déduit la formule importante pour les composantes :

En utilisant la formule de Leibniz, on démontrerait de même que :

Pour calculer explicitement ces composantes, les expressions des symboles de Christoffels doivent être déterminées à partir de la métrique. On les obtient aisément en écrivant les conditions suivantes :

Le calcul explicite de cette dérivée covariante conduit à :

où sont les composantes du tenseur métrique inverse, définies par les équations :

Les symboles de Christoffels ont une symétrie par rapport aux indices du bas :

Remarque : on définit parfois aussi les symboles suivants :

tels que :

[modifier] Tenseur de courbure de Riemann

Le tenseur de courbure de Riemann R est le tenseur d'ordre 4 défini pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de M par :

Ses composantes s'écrivent explicitement en termes de la métrique :

Les symétries de ce tenseur sont :

Il vérifie de plus la relation :

[modifier] Tenseur de courbure de Ricci

Le tenseur de Ricci est le tenseur d'ordre 2 défini par contraction du tenseur de courbure de Riemann :

Ses composantes s'écrivent explicitement en fonction de la métrique :

Ce tenseur est symétrique : .

[modifier] Courbure scalaire

Le scalaire de courbure est l'invariant défini par contraction du tenseur de Ricci avec la métrique :

[modifier] Équation d'Einstein

L’équation complète du champ gravitationnel, qu'on appelle l'équation d'Einstein, s’écrit :

où Λ est la constante cosmologique, c est la célérité de la lumière dans le vide, G est la constante gravitationnelle qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne, et T_μν le tenseur énergie-impulsion. Le tenseur symétrique g_μν possédant seulement 10 composantes indépendantes, l'équation tensorielle d'Einstein est équivalente à un système de 10 équations scalaires indépendantes. Ce système de 10 équations aux dérivées partielles non linéaires couplées est le plus souvent très difficile à étudier.

[modifier] Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

• T₀₀ est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ sont les densités de moments.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ sont les flux d'énergie.
• La sous-matrice 3 x 3 des composantes spatiale-spatiale :

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,p,p,p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

[modifier] Solutions particulières de l'équation d'Einstein

• La Métrique de Schwarzschild

Dans le vide et pour une constante cosmologique identiquement nulle, l'équation d'Einstein se réduit à :

Dans le cas particulier d'un champ central engendré par un corps à symétrie sphérique, la métrique de Schwarzschild (16 janvier 1916) fournit une solution exacte à cette équation (qui n'est valide qu'à l'extérieur du corps) :

où M la masse totale du corps, et dΩ² le carré de la distance élémentaire sur la sphère euclidienne de rayon unité en coordonnées sphériques :

• La métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, où l'Univers est localement homogène et isotrope.

• L'espace de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique positive.

• L'espace anti de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique négative.

[modifier] Problème à deux corps & problème du mouvement

En relativité générale, le problème à deux corps n'est pas exactement soluble ; seul le « problème à un corps » l'est. Cependant, on peut en général trouver une solution approchée pour ce qu'on appelle parfois le « problème du mouvement ».

[modifier] Einstein & le problème du mouvement (1915)

Dans son manuscrit de la fin 1915, Einstein commence par calculer le champ de gravitation à symétrie sphérique crée par un astre de masse M lorsqu'on se place loin du centre de l'astre, le champ étant alors de faible intensité. Einstein explore ensuite le problème du mouvement d'une « particule test » de masse dans ce champ faible. La particule test est ainsi supposée ne pas modifier le champ de gravitation créé par l'astre massif.

Le principe d'équivalence avait par ailleurs conduit Einstein à postuler les équations du mouvement de la particule-test comme étant les équations dont les solutions sont certaines géodésiques de l'espace-temps. Mathématiquement, les géodésiques rendent la pseudo-distance extrêmale :

Dans un système de coordonnées localement inertielles X^α, ces équations du mouvement s'écrivent en composantes :

où τ est le temps propre de la particule test (supposée massive). Dans un système de coordonnées quelconques x^μ, ces équations du mouvement prennent la forme suivante  :

Les solutions de ces équations définissent les géodésiques du genre temps de l'espace-temps.

[modifier] Einstein & le problème du mouvement (1938)

Dans son travail de 1938 réalisé en collaboration avec Infeld et Hoffmann, Einstein ^[10] va démontrer que les équations du mouvement de la particule-test :

dérivent des équations du champ. Il n'est donc pas nécessaire de les introduire par un postulat supplémentaire.

[modifier] Liens internes

• Géométrie différentielle
• Variété riemannienne
• Géométrie non euclidienne
• Courbure
• Géométrie dans l'espace
• Relativité restreinte
• Théorie de la relativité
• Covariance
• Paramétrisation post-newtonienne
• Tests expérimentaux de la relativité générale
• Action d'Einstein-Hilbert
• Trou noir
• Ligne d'univers

[modifier] Bibliothèque virtuelle

[modifier] Cours en ligne

• Laurent Baulieu ; Introduction à la relativité générale, cours d'introduction donné à l'École polytechnique par un chercheur du Laboratoire de physique théorique des hautes énergies de l'université Paris 6, spécialiste de théorie quantique des champs. (Fichier PostScript - 53 pages.)

• Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (I), cours d'introduction donné à l'Ecole de Gif-sur-Yvette en 2000 par un chercheur de l'Institut d'astrophysique de Paris (Meudon), spécialiste de la théorie d'Einstein (15 transparents au format jpeg).

• Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (II), suite du précédent. (75 transparents au format jpeg).

• Ruth Durrer ; Relativité générale, cours approfondi donné aux étudiants de second cycle de l'université de Genève (Suisse) par une professeure du Département de Physique Théorique. (Fichier Postscript - 159 pages).

• Gerard 't Hooft ; Introduction to general relativity, cours d'introduction donné au Caput College en 1998 par le prix Nobel 1999, chercheur à l'Institute for Theoretical Physics, Utrecht University (Pays-Bas) (Fichier Postscript - 68 pages).

• Sean M. Carroll ; Lecture notes on general relativity, cours approfondi donné en 1997 par un membre de l'Institute for Theoretical Physics, University of California at Santa Barbara (USA) (Fichiers Postscript et pdf - 238 pages)

• Theodore A. Jacobson ; A spacetime primer, notes de cours d'un professeur du Department of Physics, University of Maryland (USA) (Fichier Postscript - 42 pages).

[modifier] Lectures complémentaires

• Living Reviews in Relativity : les articles en ligne publiés sur ce site, géré par l'Institut Max-Planck pour la Gravitation de Postdam (RFA), sont régulièrement remis à jour par leurs auteurs, tous spécialistes de leur domaine de contribution.

• John C. Baez & Emory F. Bunn ; The meaning of Einstein's equations, American Journal of Physics 73 (2005), 644-652. Remarquable article pédagogique écrit en 2001 par un membre du Department of Mathematics, University of California at Riverside (USA). Donne une interprétation géométrique simple des équations du champ d'Einstein. Une version plus complète est disponible sur l'ArXiv : gr-qc/0103044

• Lee C. Loveridge ; Physical & geometric interpretations of the Riemann tensor, Ricci tensor & scalar curvature, remarquable article pédagogique écrit en 2004. (18 pages)

• Clifford M. Will ; Was Einstein Right? Testing Relativity at the Centenary, un article de revue écrit en 2005 par le spécialiste américain des tests expérimentaux de la relativité. (21 pages.) Publié dans : 100 Years of Relativity: Spacetime Structure - Einstein and Beyond, ed. Abhay Ashtekar (World Scientific, Singapour).

• R. Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner ; The dynamics of general relativity, un article écrit en 1962 sur la formulation canonique Hamiltonienne de la relativité générale, formulation passée à la postérité sous le nom de « formulation ADM ». (30 pages.)

• Robert Bartnik & Jim Isenberg ; The constraint equations, un article de revue écrit en 2004 sur le problème de Cauchy en relativité générale. À paraître dans : P.T.Chrusciel and H. Friedrich (eds.) ; 50 Years of the Cauchy Problem, in honour of Yvonne Choquet-Bruhat, proceedings of the 2002 Cargese meeting (34 pages.)

• Joel M. Weisberg & Joseph H. Taylor  ; Relativistic binary puslar B1913+16: thirty years of observations & analysis, un article de synthèse écrit en 2004 sur les mesures effectuées sur le pulsar binaire découvert en 1974 par Russel Hulse & Joseph Taylor, prix Nobel 1993. (7 pages.)

• Thomas B. Bahder ; Clock synchronisation & navigation in the vincinity of the Earth, un article de revue écrit en 2004 sur le problème de la "synchronisation des horloges" en relativité générale, avec application au GPS. (49 pages.)

• Norbert Straumann ; The history of the cosmological constant problem, un article de revue sur la constante cosmologique écrit en 2002 par un membre du Département de physique théorique de l'université de Zurich (Suisse). (12 pages.)

• Norbert Straumann ; On the Cosmological Constant Problems and the Astronomical Evidence for a Homogeneous Energy Density with Negative Pressure, un article de revue sur la constante cosmologique et l'énergie du vide écrit en 2002 pour le premier séminaire Poincaré. (51 pages.)

• Norbert Straumann ; Dark Energy, un article de revue sur l'énergie du vide écrit en 2003. (16 pages.)

• Y. Verbin & N.K. Nielsen ; On the origin of Kaluza's idea of unification, un court article écrit en 2004 sur l'origine de la théorie de Kaluza-Klein. Publié dans : General Relativity and Gravitation 37 (2005) 427-433 (5 pages.)

• Jacob D. Beckenstein ; Black holes: physics & astrophysics, un article de synthèse sur les trous noirs, écrit par un spécialiste en 2004. D'après des cours donnés au NATO advanced study institute Neutrinos and explosive events in the universe, Erice (2-13 juillet 2004) (26 pages.)

• E.G. Adelberger, B.R. Heckel, A.E. Nelson ; Tests of the Gravitational Inverse-Square Law, un article de revue écrit par des membres de l'université de Washington, Seattle (USA) publié dans : Annual Review of Nuclear and Particle Science 53 (2003) 77-121.

[modifier] Divers

• (fr) Relativité générale : comment l'espace-temps devint dynamique, Futura-Sciences
• (fr) Les aventures d’Anselme Lanturlu Le géométricon et Tout est relatif, bandes dessinées de Jean-Pierre Petit, éd. Belin,
• (fr) Article de vulgarisation

[modifier] Bibliographie

[modifier] Vulgarisation

• Albert Einstein ; La relativité, Gauthier-Villars (1956). Réédité par Payot (1990) ISBN 2228882542. Au format poche, un exposé élémentaire des principes de la théorie de la relativité restreinte et générale, par son auteur. Indémodable.

• Banesh Hoffmann ; Histoire d'une grande idée : la relativité, Éditions Pour La Science (1985), diffusion Belin ISBN 0-9029-1844-5. Un exposé remarquable pour sa clarté et sa simplicité de la relativité, par un ancien collaborateur d'Einstein à l'Institute for Advanced Studies de Princeton.

• Thibault Damour ; Si Einstein m'était conté, Editions du Cherche-midi, Paris (2005) ISBN 2-74910-390-8. Le grand spécialiste français des théories de la relativité nous livre enfin « son » Einstein sans équations. Thibault Damour est professeur permanent à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) de Bures-sur-Yvette ; il a longtemps enseigné la relativité générale au DEA de physique théorique de la rue d'Ulm.

• Clifford M. Will ; Les enfants d'Einstein - La relativité générale à l'épreuve de l'observation, InterEditions (Paris-1988), ISBN 2-7296-0228-3. Quelques une des résultats expérimentaux - parfois récents - qui confirment tous la théorie d'Einstein, par un expert.

• Albert Einstein & Leopold Infeld ; L'évolution des idées en physique, Collection Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080811193. Au format poche, une histoire de la physique, de la Mécanique de Newton jusqu'aux théories modernes (relativité, quanta), écrite en 1936 par le Maître lui-même et l'un des ses disciples à Princeton, pour financer le séjour de ce dernier. Accessible dès la terminale scientifique, un ouvrage qui invite à la réflexion et qui fait aimer une physique vivante et accessible.

• Jean-Pierre Luminet ; Les trous noirs, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2020159481. Un ouvrage au format poche, par un expert français de l'Observatoire de Meudon travaillant sur le sujet. Introduit l'éventuelle possibilité de voyager dans le temps au moyen de trous de ver.

• Kip S. Thorne ; Trous noirs & distorsions du temps - L'héritage sulfureux d'Einstein, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion (1997). Réédité dans la collection Champs (2001), ISBN 208081463X. Un livre essentiellement consacré aux trous noirs, par un spécialiste du genre, professeur de Physique Théorique au Californian Institute of Technology. Le dernier chapitre présente les recherches les plus récentes (et spéculatives) de l'auteur sur les voyages dans le temps.

• Stephen Hawking ; Une brève histoire du temps - Du Big-Bang aux trous noirs, Flammarion (1989). Réédité par J'ai lu (2000), ISBN 2290307114. Un ouvrage d'initiation à la cosmologie moderne, par un physicien théoricien anglais célèbre de l'Université de Cambridge. La première partie du livre est un exposé de la théorie classique du Big-Bang. La seconde partie présente les résultats plus récents de l'auteur concernant la cosmologie quantique ; plus difficile à lire pour le profane, cette partie est également beaucoup plus spéculative : l'approche d'Hawking constitue une théorie parmi d'autres, non encore confirmée par l'expérience.

• Thibault Damour ; Le renouveau de la relativité générale, La Recherche 189 (Juin 1987) 766-776. Un article qui expose simplement la théorie et ses développements récents (trous noirs, ondes gravitationnelles…).

• John A. Wheeler ; A journey into gravity & space-time, Freeman & Co. (1999), ISBN 0-7167-6034-7. La relativité générale vulgarisée par un expert mondial.

• Robert Geroch ; General relativity - From A to B, the University of Chicago Press (1978), ISBN 0-226-28864-1. Une introduction non mathématique à la relativité générale, issue d'un cours donné à des non-scientifiques, par un professeur de physique mathématique de l'Université de Chicago.

• Bernard Schutz ; Gravity from the ground up - An introductory guide to gravity & general relativity, Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-45506-5. Superbe introduction aux phénomènes gravitationnels.

• (en) Herman Bondi: Relativity and Common Sense, Heinemann (1964), ISBN . Une introduction accessible à tous par un scientifique renommé.

[modifier] Ouvrages d'initiation

Accessibles au niveau du premier cycle universitaire.

• Dennis William Sciama ; The Physical Foundations of General Relativity, Doubleday (1969), ISBN 0385021992. Né en 1926 en Angleterre, l'auteur est un astrophysicien qui a été dès la fin des années 1950 l’un des grands théoriciens des trous noirs. Il a joué un rôle déterminant en impulsant les recherches dans ce domaine ; il a notamment eu Stephen Hawking et Martin Rees comme étudiants à l'université de Cambridge. Il a existé autrefois une traduction française de cet excellent livre : Les bases physiques de la relativité générale, Dunod (1971), hélas non rééditée.

• E.F. Taylor & John A. Wheeler ; À la découverte de l'espace-temps, Dunod (1970). Cet ouvrage original est une introduction élémentaire, quoique rigoureuse, à la théorie de la relativité restreinte ; Wheeler est un expert incontesté du domaine. Le public visé est l'étudiant de premier cycle débutant en physique ; en particulier, la connaissance de l'électromagnétisme n'est pas nécessaire. C'est le complément idéal pour prolonger la lecture du livre de Banesh Hoffman cité ci-dessus. De nombreux exercices, dont une bonne part résolue. Malheureusement plus édité en français, cet ouvrage reste disponible en anglais : Spacetime Physics, W. H. Freeman (2^e édition - 1992), ISBN 0716723271.

• Jean-Marc Levy-Leblond ; Les relativités, Cahiers de Fontenay n 8, École normale supérieure de Fontenay-aux-Roses (1977). Notes de cours très pédagogiques, hélas non publiées. Se trouve dans toute bonne bibliothèque universitaire.

• Thibault Damour & Stanley Deser ; Relativité, Encyclopeadia Universalis 19 (1995) 739-748. Un exposé non technique d'une grande clarté, par un spécialiste de notoriété mondiale : Thibault Damour est professeur permanent à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) de Bures-sur-Yvette ; il a longtemps enseigné la relativité générale au DEA de physique théorique de la rue d'Ulm.

• Jean-Pierre Provost & Marie-Antoinette Tonnelat ; Espace-temps, Encyclopeadia Universalis 8 (1995) 743-745. Un exposé d'introduction assez simple, ou l'essentiel de la relativité en quatre pages.

• Max Born ; La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases physiques, Gauthier-Villars (1923). Réédité par Jacques Gabay (2003) ISBN 2-87647-230-9. Cet ouvrage, écrit par un grand théoricien allemand, prix Nobel 1954, est remarquable pour sa clarté. La place occupée par l'aspect mathématique y est extrêmement réduite.

• Wolfgang Rindler ; Relativity : special, general and cosmological, Oxford University Press (3ème édition-2001), ISBN 0-19-850836-0. Une introduction brillante à tous les aspects de la relativité, par un professeur de l'Université de Dallas (Texas), spécialiste du domaine.

• Wolfgang Rindler ; Essential relativity : special, general and cosmological, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag (2ème édition révisée-1977), ISBN 3-540-10090-3. Édition antérieure du livre précédent, toujours intéressante.

• George F.R. Ellis & Ruth M. Williams ; Flat & curved space-times, Oxford University Press (2^e édition-2000), ISBN 0-19-850656-2. Une autre excellente introduction à la relativité, par un expert, professeur de l'Université de Cape-Town (Afrique du Sud), et sa collaboratrice.

• Arthur S. Eddington ; Space, time & gravitation - An outline of the general relativity theory, Cambridge Science Classics Series, Cambridge University Press (1987), ISBN 0-521-33709-7. Réédition d'un classique, paru originellement en 1920, par le grand astronome anglais qui vérifia pour la première fois l'une des prédictions théoriques de la relativité générale : la déviation de la lumière par un corps massif, observée en 1919 lors d'une éclipse totale du Soleil. (Il a existé autrefois une traduction française de cet ouvrage.)

• James B. Hartle ; Gravity - An introduction to Einstein's general relativity, Addison-Wesley (2003), ISBN 0-8053-8662-9. Kip Thorne a écrit de ce livre : « la meilleure introduction à la relativité générale jamais écrite » ! L'auteur est professeur de physique théorique à l'université de Santa-Barbara.

• Edwin F. Taylor & John A. Wheeler ; Exploring black holes : introduction to general relativity, Benjammin/Cummings (2000), ISBN 0-201-38423-X. Pour un lecteur qui connait les principes de la relativité restreinte, Wheeler et Taylor introduisent les idées de la relativité générale à partir du concept de trou noir, en utilisant le minimum de mathématiques possible : métriques, algèbre, calcul différentiel et intégral de base (pas de géométrie différentielle, ni de tenseurs).

• Marc Lachièze-Ray ; Initiation à la cosmologie, Masson (2^e édition-1996), ISBN 2-225-85208-1. Par un spécialiste du sujet, c'est une introduction très claire et élémentaire au sujet.

• Comittee on Gravitational Physics ; Gravitational Physics - Exploring the structure of space and time, National Academy Press (Washington, D.C.-1999), ISBN 0-309-06635-2. Rapport officiel du Comittee on Gravitational Physics de la National Academy of Sciences américaine, qui comprend quelques uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine. Ce petit ouvrage retrace d'une part les avancées de la recherche ayant eu lieu ces dix dernières années dans le champ de la gravitation - en relation avec l'astrophysique, la cosmologie et la physique des particules - et, d'autre part, propose des pistes de recherche pour la décennie à venir. Une excellente synthèse de l'état de l'art, sans équations.

• (en) Ray d’Inverno: Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University (1993).

[modifier] Ouvrages techniques

• Lev Landau & Evguéni Lifschitz ; Physique Théorique - Tome 2 : Théorie des champs, Ellipses, ISBN 2-7298-9403-9. Second tome du célèbre cours écrit par Landau, théoricien soviétique prix Nobel de physique 1962. Ce volume débute par une introduction à la théorie de la relativité restreinte, se poursuit par la théorie de Maxwell du champ électromagnétique, et expose dans la dernière partie la théorie de la relativité générale. Le niveau reste toujours élevé (second cycle universitaire) : Landau n'ayant pas pour habitude de détailler les calculs intermédiaires, c'est souvent au lecteur de remplir les trous !

• Steven Weinberg ; Gravitation & Cosmolgy, John Wiley & Sons (New York-1972), ISBN 0-471-92567-5. Un très bel ouvrage de référence. Niveau second cycle universitaire minimum.

• C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. Autre ouvrage de référence, qui développe les aspects géométriques modernes avec une grande clarté. Niveau second cycle universitaire minimum.

• (en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 pages (ISBN 0226870332). Plus récent que les deux bibles précédentes, voilà un livre d'introduction à la théorie dans un exposé résolument moderne, qui contient également des développements récents (théorèmes de singularités), incluant certains effets quantiques en gravitation (évaporation des trous noirs d'Hawking). La première partie de ce livre est accessible à partir d'un second cycle universitaire.

• Ignazio Ciufolini & John A. Wheeler ; Gravitation & Inertia, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1995), ISBN 0-691-03323-4. Un ouvrage consacré à la théorie de la relativité générale, qui débute par un exposé d'introduction classique, et qui se poursuit par l'exploration des développements théoriques plus récents, en prenant en compte les derniers résultats expérimentaux. Niveau second cycle universitaire minimum.

• Clifford M. Will ; Theory & Experiment in gravitational physics, Cambridge University Press (1981), ISBN 0521439736. Une monographie qui contient les aspects techniques des résultats discutés dans l'ouvrage précédent. Niveau second cycle universitaire minimum.

• Sean M. Carroll ; Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison Wesley (2003), ISBN 0805387323. Une introduction moderne ; une ébauche du texte est disponible sur l'ArXiv : gr-qc/9712019.

• Stephen W. Hawking & Georges F.R. Ellis ; The large scale structure of space-time, Cambridge Monograph on Mathematical Physics, Cambridge University Press (1973), ISBN 0-521-09906-4. Un ouvrage qui expose notamment les théorèmes de singularités démontrés dans les années 1960-70 par Hawking & son mentor Roger Penrose. Niveau troisième cycle universitaire.

• Subrahmanyan Chandrasekhar ; The mathematical theory of black holes, Oxford University Press (1983), ISBN 0-19-850370-9. La théorie mathématique des trous noirs, par le grand astrophysicien théoricien d'origine indienne. Niveau troisième cycle universitaire.

• Philip James Edwin Peebles ; Principles of physical cosmology, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1993), ISBN 0-691-01933-9. Une synthèse récente de la cosmologie. Niveau second cycle universitaire minimum.

• Albert Einstein ; La théorie de la relativité restreinte et générale, Dunod (2005), ISBN 2100487167. La version anglaise se trouve sur le projet Gutenberg

• Albert Einstein ; Quatre conférences sur la théorie de la relativité, Dunod (2005), ISBN 2100492292. Texte de quatre conférences prononcées à l'université de Princeton en 1921.

• Hermann Weyl ; Space, time, matter, Dover Publications, Inc. (4^e édition-1952), ISBN 0486602672. Un classique de la physique théorique, écrit par un grand mathématicien. Niveau second cycle universitaire. (Il a existé autrefois une traduction française de cet ouvrage.)

• Stephen W. Hawking & Roger Penrose ; La nature de l'espace et du temps, Collection Essais, Gallimard (1997), ISBN 2-07-074465-5. Ce livre présente les réflexions récentes des deux auteurs, qui tentent chacun de concilier la relativité générale et la théorie quantique. Bien que contenant très peu d'équations, ce livre, sorti dans une collection généraliste qui se veut accessible, est d'un abord très difficile. Niveau troisième cycle universitaire.

[modifier] Aspects historiques

• Jean Eisenstaedt ; Einstein & la relativité générale - Les chemins de l'espace-temps, CNRS éditions (2002), ISBN 2-271-05880-5. Une histoire érudite de la théorie d'Einstein écrite par Le spécialiste français du domaine.

• (en) W. Perret and G.B. Jeffrey, trans.: The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, New York Dover (1923), ISBN .

• Wolfgang Pauli ; Theory of relativity, Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-64152-X. Ce livre est une mine d'informations. Il s'agit de la réédition anglaise d'un article de revue écrit en allemand en 1921 pour l’Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften par un jeune théoricien autrichien, alors âgé de 21 ans, étudiant à Göttingen avec Max Born. Voilà ce qu'en dit Einstein dans une lettre adressée à Born datée du 30 décembre 1921 : « Pauli est un type épatant pour ses 21 ans ; il peut être fier de son article pour l'Encyclopédie. »

• Max Jammer ; Concepts of space - The history of theories of space in physics, Dover Publications, Inc. (3^e édition-1993), ISBN 0-486-27119-6. Une histoire érudite du concept d'espace, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours.

• Luciano Boi ; Le problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible, Springer-Verlag (1995), ISBN 3-540-58922-8. Une histoire philosophique du concept mathématique d'espace, de la géométrie euclidienne au développement des géométries modernes non euclidiennes, dont la version riemannienne est indispensable pour la formulation de la relativité générale. Niveau premier cycle universitaire minimum.

• Marvin J. Greenberg ; Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3ème édition-1996), ISBN 0-7167-2446-4. Un livre de mathématiques qui retrace l'histoire et le développement des géométries non Euclidiennes, essentiellement à deux dimensions (géométries de Gauss, Bolai et Lobachevsky). Accessible à l'« honnête homme cultivé ».

• Jean-Pierre Luminet & A. Grib (eds.) ; Essais de cosmologie, collection Source du savoir, Le Seuil (1997), ISBN 2-02-023284-7. Textes fondateurs d'Alexandre Friedmann et de Georges Lemaître (datant de 1923 à 1945) annotés par les éditeurs.

• Henri Poincaré ; La science et l'hypothèse, Collection Champs, Flammarion (1989), ISBN . Un ouvrage classique de philosophie des sciences au format poche, par un très grand mathématicien (mort en 1912). Contient quelques réflexions sur l'espace, ainsi que sur les grandes théories physiques.

[modifier] Biographies d'Einstein

• Banesh Hoffmann ; Albert Einstein, créateur et rebelle, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1975) ISBN 2020053470. Une excellente biographie au format poche, par un ancien collaborateur d'Einstein à l'Institute for Advanced Studies de Princeton.

• Philippe Frank ; Einstein - Sa vie et son temps, Collection Les savants & le monde, Albin Michel (Paris-1950). Réédition en poche dans la collection Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080812424. Une biographie autorisée de première main, par celui qui fut le successeur d'Einstein à la chaire de physique théorique de l'Université de Prague, nommé sur sa recommandation. Très documentée, elle décrit admirablement le contexte historique (scientifique et politique) de la genèse des travaux d'Einstein.

• Abraham Pais ; Albert Einstein - Sa vie, son œuvre, Interéditions (1993). Réédité par Dunod (2005) ISBN 2100493892. La biographie scientifique qui fait aujourd'hui autorité depuis sa parution en 1982, par un professeur de l'Université de Rockfeller qui a connu Einstein dans les dernières années de sa vie. Contenu extrêmement riche. Le niveau de certains passages techniques est celui d'un second cycle universitaire (au moins).

• Françoise Balibar ; Einstein : La joie de la pensée, collection Découvertes, Gallimard (1993), ISBN 2070532208.

• Jacques Merleau-Ponty ; Einstein, Collection Champs, Flammarion (1997) ISBN 2080813382. Une autre biographie au format poche, par un professeur d'épistémologie de l'Université de Paris X - Nanterre. L'ouvrage est divisé en trois parties : l'homme, son œuvre scientifique et sa philosophie.

[modifier] Machines temporelles

• Jean-Pierre Luminet ; Les trous noirs, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2020159481. Un ouvrage au format poche, par un expert français de l'Observatoire de Meudon travaillant sur le sujet. Introduit l'éventuelle possibilité de voyager dans le temps au moyen de trous de ver.

• Kip S. Thorne ; Trous noirs & distorsions du temps - L'héritage sulfureux d'Einstein, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion (1997). Réédité dans la collection Champs (2001), ISBN 208081463X. Un livre essentiellement consacré aux trous noirs, par un spécialiste du genre, professeur de physique théorique au Californian Institute of Technology. Le dernier chapitre présente les recherches les plus récentes (et spéculatives) de l'auteur sur les voyages dans le temps.

• Paul Davies ; How to build a time machine ?, Allen Lane / The Penguin Press (London-2001), ISBN 0-71-399583-1. Courte revue des possibilités théoriques du voyage dans le temps, par un ancien professeur à l'Université d'Adélaïde. Vulgarisation.

• J. Richard Gott ; Time travel in Einstein's universe - The physical possibilities of travel through time, Weidenfeld & Nicholson (Londres-2001), ISBN 0-297-60760-X. Exploration des possibilités théoriques du voyage dans le temps, par un professeur d'astrophysique à l'Université de Princeton qui a découvert l'une de ces possibilités (utilisation d'une corde cosmique). Vulgarisation.

• Matt Visser ; Lorentzian Wormholes: From Einstein to Hawking, Series in computational and applied mathematical physics, American Institute of Physics (1995), ISBN 1563963949.

• Igor D. Novikov ; The River of Time, Cambridge University Press (2^e édition - 2001), ISBN 0521008484. Ouvrage écrit par un brillant astrophysicien russe.

• Jim Al-Khalili ; Black Holes, Wormholes & Time Machines, Institute of Physics Publishing (1999), ISBN 0750305606. Vulgarisation.

• John Gribbin ; In Search of the Edge of Time: Black Holes, White Holes, Wormholes, Penguin Books (2^e édition - 1999), ISBN 0140248145. Après des études d'astrophysique à l'université de Cambridge, l'auteur est devenu un écrivain scientifique à temps plein.

• Paul J. Nahin ; Time Machines : Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction, American Institute of Physics (2^e édition - 2001), ISBN 0387985719. Ce livre est écrit par un journaliste, pas par un physicien théoricien : certains lecteurs en sont sortis très déçus ! Il contient cependant de nombreuses références. Préface de Kip S. Thorne.

[modifier] Notes

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