Crochet de Lie

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Le crochet de Lie est une loi de composition interne $[,]$ sur un espace vectoriel $V$ , qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismes en constitue un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

[modifier] Définition générale

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel $V$ sur un corps $\mathbb K$ . Le crochet de Lie est une loi de composition interne sur V, vérifiant les propriétés suivantes :

antisymétrie : $\forall x,y\in V, [x,y]+[y,x]=0$ ;
bilinéarité, qui avec l'antisymétrie peut se résumer de la façon suivante : $\forall x,x',y\in V,\lambda\in\mathbb K, [\lambda x+x', y]=\lambda[x,y]+[x',y]$ ;
relation de Jacobi : $\forall x,y,z\in V, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ .

Muni du crochet, l'espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

[modifier] Crochet de Lie de deux champs de vecteurs

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

$[X,Y]\cdot f = X\cdot (Y\cdot f) -Y \cdot (X\cdot f)$

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.