Constante cosmologique

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La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa théorie compatible avec l'idée qu'il avait alors d'un Univers statique. Après la découverte en 1929 du décalage vers le rouge par Edwin Hubble impliquant un Univers en expansion, Albert Einstein revient sur l'introduction de la constante cosmologique, la qualifiant de « plus grande bêtise de sa vie. » Néanmoins des découvertes récentes durant les années 1990, traitant des problèmes tels que l'énergie du vide, la théorie quantique des champs ou l'accélération de l'expansion de l'Univers ont provoqué un regain d'intérêt pour ce paramètre, qui est par ailleurs compatible avec l'ensemble de la théorie de la relativité générale.

Sommaire

1 Description mathématique
2 Le retour de la constante cosmologique
3 Liens
4 Bibliographie
- 4.1 Références historiques
- 4.2 Revues modernes
5 Notes

[modifier] Description mathématique

NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW ^[1]

Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.

On considère un espace-temps caractérisé par le tenseur métrique $g μν$ de signature (-, +, +, +). On note $R μν$ le tenseur de Ricci associé, et $R = g^{\mu \nu} \, R_{\mu\nu}$ la courbure scalaire.

[modifier] Introduction

La constante cosmologique est le terme mathématique noté $Λ$ qui apparaît dans l'équation d'Einstein, à partir de laquelle tous les modèles cosmologiques sont dérivés :

$R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ - \ \Lambda \, g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu}$

G la constante gravitationnelle (environ 6,6742.10^-11 m³kg^-1s^-2), c la vitesse de la lumière (exactement 299 792 458 m.s^-1) par définition, et $T μν$ le tenseur énergie-impulsion.

Mathématiquement, le membre de gauche de cette équation, qui représente la géométrie de l'espace-temps, est la forme la plus générale d'un tenseur covariant dont la dérivée covariante soit identiquement nulle. En effet, lorsque la connexion est associée à la métrique, on a :

$\nabla^{\mu} \, g_{\mu\nu}\ = \ 0$

et les identités de Bianchi s'écrivent :

$\nabla^{\mu} \, \left[ \, R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \, \right ] \ = \ 0$

On en déduit que le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de matière et énergie dans l'espace-temps, est conservé (de façon covariante) :

$\nabla^{\mu} \, T_{\mu\nu} \ = \ 0$

[modifier] Interprétation physique

Le terme contenant la constante cosmologique peut se placer à droite de l'équation en changeant son signe, et l'égalité reste bien évidemment vérifiée :

$R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ T_{\mu\nu} \ + \ \Lambda \ g_{\mu\nu}$

Cependant, de ce côté droit, le terme prend une signification différente, puisqu'il est du « côté de l'énergie-impulsion ». On cherche alors une forme d'énergie que le tenseur d'énergie-impulsion décrivant la matière et/ou le rayonnement ordinaires ne contiendrait pas, mais qui serait décrit par le terme de constante cosmologique :

$T_{\mu\nu}^{(\Lambda)} \ = \ \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G} \ g_{\mu\nu}$

Cette expression est celle d'un fluide parfait [ST02] dont la densité d'énergie volumique serait :

$\rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \ \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}$

c'est-à-dire que sa masse volumique $ρ Λ$ vaudrait :

$\rho_{\Lambda} \ = \ \frac{c^2 \Lambda}{8\pi G}$

et dont la pression serait négative :

$P_{\Lambda} \ = \ - \ \rho_{\Lambda} \, c^2 \ = \ - \ \frac{c^4 \Lambda}{8\pi G}$

La constante cosmologique contribue ainsi à ce que l'on appelle l'énergie du vide.

[modifier] Limite newtonienne

[modifier] Equations d'Einstein en champ faible

On se place à la limite des champs faibles :

$g_{\mu \nu}(x) \ = \ \eta_{\mu \nu} \ + \ h_{\mu \nu}(x) \quad , \quad | h_{\mu \nu}(x) | \ \ll \ 1$

où $η μν$ est la métrique plate de Minkowski. Dans cette limite, le tenseur de Ricci s'écrit au premier ordre :

$R_{\mu \nu}(x) \ = \ [ \dots ]$

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Considérons alors un espace-temps statique, dont la métrique se met sous la forme :

$ds^2 \ = \ - \ g_{00}(x^k) \ dt^2 \ + \ g_{ij}(x^k) \ dx^i \ dx^j \ , \quad i,j,k \ \in \ \{1,2,3 \}$

Dans ce système de coordonnées, seule la composante temporelle-temporelle du tenseur de Ricci est non-négligeable à la limite des champs faibles. Elle s'écrit simplement :

$R_{00} \ = \ \frac{\Delta g_{00}}{g_{00}}$

où $Δ$ est l'opérateur de Laplace-Beltrami à trois dimensions, calculé avec la partie spatiale $g i j (x k)$ de la métrique.

[modifier] Application au fluide parfait

Si l'on remplit l'univers statique précédent d'un fluide parfait au repos dont la masse volumique est $ρ$ (c'est-à-dire que sa densité volumique d'énergie vaut $\rho \, c^2$ ) et la pression $P$ , l'équation de champ d'Einstein s'écrit :

$\frac{\Delta g_{00}}{g_{00}} \ = \ \frac{8\pi G}{c^4} \ \left[ \ ( \rho \, c^2 + 3 P ) \ + \ ( \rho_{\Lambda} \, c^2 + 3 P_{\Lambda} ) \ \right]$

On a vu plus haut que : $\rho_{\Lambda} c^2 = - \, P_{\Lambda}$ , donc : $\rho_{\Lambda} \, c^2 + 3 P_{\Lambda} = - \, 2 \, \rho_{\Lambda} \, c^2$ . À la limite newtonienne, la pression est faible devant la densité d'énergie : $P \ll \rho c^2$ . De plus, la composante temporelle-temporelle de la métrique s'écrit :

$g_{00} \ \sim \ 1 \ - \ \frac{2 V}{c^2}$

où $V$ est le potentiel Newtonien de gravitation ( $V \ll c^2$ ). L'équation d'Einstein se réduit alors à une équation de Poisson, modifiée par le terme cosmologique :

$\Delta \, V \ = \ 4 \pi G \ \left[ \ \rho \ - \ 2 \, \rho_{\Lambda} \ \right]$

Pour un fluide réel, la masse volumique est toujours positive et l'effet gravitationnel est toujours attractif. En revanche, avec une constante cosmologique positive, la masse volumique associée est aussi positive, et la présence du signe « moins » entraîne un effet gravitationnel répulsif.

[modifier] Le retour de la constante cosmologique

Un temps abandonnée, la constante cosmologique a été récemment remise au goût du jour après la découverte de l'accélération de l'expansion de l'univers. Elle décrirait une force, encore hypothétique, qui accélererait l'expansion de l'univers, appelée énergie sombre (à ne pas confondre avec la Matière sombre).

En novembre 2005, l'Office Américain des Brevets d'Invention a accordé un brevet ayant pour objet un vaisseau spatial dont la propulsion repose sur la modification locale de la constante cosmologique par la mise œuvre de matériaux supraconducteurs. Le but est de créer localement des conditions d'anti-gravité. Notons cependant que la communauté scientifique semble sceptique quant au réalisme d'un tel dispositif en raison de la quantité d'énergie colossale qui serait nécessaire.

[modifier] Liens

[modifier] Bibliographie

[modifier] Références historiques

[EI17] Albert Einstein ; Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, phys. math. Klasse IV (1917) 142.

[modifier] Revues modernes

Larry Abbott ; La constante cosmologique, Pour La Science 129 (juillet 1988) 48-56.

Lawrence Krauss ; L'antigravité, Pour La Science 257 (mars 1999).

Jean-Philippe Uzan ; Que cache la constante cosmologique ?, Pour La Science 326 (décembre 2004).

Sean M. Carroll ; The Cosmological Constant, Living Reviews in Relativity 4 (2001) 1. Texte complet en ligne, disponible également sur l'ArXiv : astro-ph/0004075.

T. Padmanabhan ; Cosmological Constant - the Weight of the Vacuum, Physics Report 380 (2003) 235-320. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-th/0212290.

Philip James Edwin Peebles & Bharat Ratra ; The Cosmological Constant and Dark Energy, Review of Modern Physics 75 (2003) 559-606. Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/0207347.

Norbert Straumann ;The history of the cosmological constant problem, conférence donnée au XVIIIth IAP Colloquium : Observational and theoretical results on the accelerating universe, July 1-5 2002 (Paris). Texte complet disponible sur l'ArXiv : gr-qc/0208027.

[ST02] Norbert Straumann ; On the Cosmological Constant Problems and the Astronomical Evidence for a Homogeneous Energy Density with Negative Pressure, conférence donnée au premier séminaire Poincaré (Paris - Mars 2002). Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/0203330.

Norbert Straumann ; Dark Energy, conférence donnée à la Seventh Hungarian Relativity Workshop, 10-15 August, 2003, Sarospatak (Hongrie) par l'auteur (Université de Zurich, Suisse). Texte complet disponible sur l'ArXiv : gr-qc/0311083.

Steven Weinberg ; The Cosmological Constant Problem, conférence donnée à Dark Matter 2000 (février 2000). Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/0005265.

Steven Weinberg ; Theories of the Cosmological Constant, conference donné aux Critical Dialogues in Cosmology, Princeton University (juin 1996). Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/9610044.

Steven Weinberg ; The Cosmological Constant Problem, Review of Modern Physics 61 (1989) 1-23. Textes des conférences Morris Loeb données à l'université Harvard en mai 1988.