Connexion de Levi-Civita
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Si (M,g) est une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne, il existe une unique connexion linéaire sous les conditions que
- est sans torsion, c'est-à-dire
- et g est parallèle, c'est-à-dire pour tout champ de vecteurs
où [.,.] est le crochet de Lie, et où par définition .
L'existence et l'unicité se dérivent des conditions sus-dites par l'obtention d'une formule explicite sous la forme et en vérifiant que cette expression vérifie bien les conditions d'être une connexion linéaire sur la variété.