Courbure

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :

dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle, et un cercle un objet de courbure constante positive.

dans l'espace euclidien usuel à trois dimension, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère un objet à deux dimensions de courbure constante positive. Une « selle de cheval » possède au contraire un point de courbure négative.

Cette notion intuitive de courbure se précise et admet une généralisation à des espaces de dimensions quelconques dans le cadre de la géométrie riemannienne.

Comme l'a montré Gauss pour le cas des surfaces (theorema egregium), il est très remarquable que la courbure d'un objet géométrique puisse être décrite de façon intrinsèque, c'est à dire sans référence aucune à un « espace de plongement » dans lequel se situerait l'objet considéré. Par exemple, le fait qu'une sphère ordinaire soit une surface à courbure positive constante est complètement indépendant du fait que nous voyons habituellement cette sphère comme étant plongée dans notre espace euclidien à trois dimensions. La courbure de cette sphère pourrait très bien être mesurée par des êtres intelligents bidimensionnels vivants sur la sphère (sortes de « fourmis bidimensionnelles »), à partir de mesures de longueurs et d'angles effectuées sur la sphère. La légende veut que Gauss s'interroge sur ces questions en étant confronté aux difficultés de cartographie de la Terre.

[modifier] Courbure d'un arc

Article détaillé : Courbure d'un arc.

Tangente et cercle osculateur en un point P de la courbe C

On peut définir la courbure d'un arc de l'espace euclidien à deux dimensions de plusieurs façons équivalentes. Il existe cependant deux conventions en usage, l'une faisant de la courbure une quantité obligatoirement positive, l'autre donnant une version algébrique de la courbure. Elle se calcule en chaque point de la courbe, moyennant certaines hypothèses sur les dérivées des fonctions servant à définir celle-ci.

La courbure quantité positive peut être vue comme la norme du vecteur accélération pour un mobile parcourant la courbe à vitesse constante égale à 1. C'est aussi l'inverse du rayon du cercle osculateur, cercle venant épouser la courbe au plus près au voisinage du point d'étude. En ce sens, la courbure indique la propension de la courbe à se comporter comme un cercle de plus ou moins grand rayon, c'est à dire à former un virage plus ou moins serré.

Pour introduire des versions algébrisées de la courbure, il faut munir le plan d'une orientation et introduire un repère mobile adapté au mouvement : le repère de Frenet. Le signe de la courbure s'interprète alors comme l'indication du sens dans lequel est tournée la concavité de la courbe. La courbure désigne aussi la vitesse à laquelle les vecteurs du repère de Frenet tournent par rapport à une direction fixe.

La courbure peut ensuite être généralisée aux courbes gauches (courbes tracées dans l'espace à trois dimensions), mais les mêmes raisons qui empêchent d'orienter de façon compatible tous les plans de l'espace empêchent de définir une courbure algébrique ; elle est donc par convention toujours positive. La courbure s'accompagne alors d'un autre invariant, la torsion.

[modifier] Courbure d'une surface de $R 3$

[modifier] Courbure moyenne

Article détaillé : courbure moyenne.

[modifier] Courbures principales

Article détaillé : courbures principales.

[modifier] Courbure de Gauss

Article détaillé : courbure de Gauss.

[modifier] Courbure d'une variété Riemanienne

[modifier] Courbure sectionnelle

Article détaillé : courbure sectionnelle.

[modifier] Courbure scalaire

Article détaillé : courbure scalaire.

[modifier] Courbure de Ricci

Article détaillé : courbure de Ricci.

[modifier] Définition

Soit une variété affine M de dimension $n$ , c'est-à-dire une variété munie d'une connexion affine $\nabla$ . À partir de cette connexion, on définit le tenseur de courbure, ou tenseur de Riemann $\mathcal{R}$ . Ce tenseur est défini pour X, Y et Z champs de vecteurs sur la variété par :

$\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ \nabla_X\nabla_Y Z \ - \ \nabla_Y\nabla_X Z \ - \ \nabla_{[X,Y]}Z$ ,

où [X, Y] est le crochet de Lie de X et Y. $\mathcal{R}(X,Y)$ est un champ d'endomorphisme de l'espace fibré tangent TM : à tout champ de vecteur Z, il associe un nouveau champ de vecteur noté R(X, Y)Z.

[modifier] Introduction d'une métrique

On muni la variété affine M d'un tenseur métrique g : $(M, g)$ est alors une variété riemannienne, et on peut définir une courbure à valeurs réelles par :

$\mathcal{R}(X,Y,Z,W) \ = \ g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W)$ .

En composantes dans une base locale $\vec{e}_{\mu}$ , $\mathcal{R}(X,Y)Z$ est le vecteur qui s'écrit :

$\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ \vec{e}_{\mu}$ .

où les $R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma}$ sont les composantes du tenseur de courbure. On a alors :

$g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W) \ = \ g_{\mu \lambda} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ W^{\lambda} \ = \ W_{\mu} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma}$

En prenant sa trace (par rapport à X et Y), on obtient le tenseur de courbure de Ricci, et en prenant la trace de celui-ci, on obtient la courbure scalaire (qui est une fonction de M dans $\mathbb{R}$ ).

[modifier] Exemples

Pour l'espace euclidien, la courbure scalaire est nulle.

Pour la sphère de dimension $n$ rayon un, la courbure scalaire vaut $n (n - 1)$ .

[modifier] Bibliographie

Jean-Pierre Bourguignon ; Espaces courbes, publié dans : Université de tous les savoirs - Vol. 4 : qu'est-ce que l'Univers ?, Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9. Superbe introduction non technique au sujet. L'auteur, actuellement Directeur de l'IHES, a longtemps enseigné la géométrie différentielle à l'école polytechnique.

Lee C. Loveridge ; Physical & geometric interpretations of the Riemann tensor, Ricci tensor & scalar curvature, remarquable article pédagogique écrit en 2004. (18 pages)

[modifier] Aspects historiques

Luciano Boi ; Le problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible, Springer-Verlag (1995), ISBN . Une histoire philosophique du concept mathématique d'espace, de la géométrie Euclidienne au développement des géométrie modernes non Euclidiennes, dont la version Riemannienne, indispensable pour la formulation de la relativité générale. Niveau premier cycle universitaire minimum.

Marvin J. Greenberg ; Euclidean & Non-Euclidean Geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3ème édition-1996), ISBN . Un livre de mathématiques qui retrace l'histoire et le développement des géométries non Euclidiennes, essentiellement à deux dimensions (géométries de Gauss, Bolai et Lobachevsky). Accessible à l' « honnête homme » cultivé.

Max Jammer ; Concepts of Space - The History of Theories of Space in Physics, Dover Publications, Inc. (3ème édition-1993), ISBN . Une histoire érudite du concept d'espace, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours. Niveau premier cycle universitaire.

[modifier] Aspects techniques

Boris Doubrovine, Sergueï Novikov & Anatoli Fomenko ; Géométrie contemporaine - Méthodes & applications (Première partie : géométrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs), Mir (1982). Édition en anglais : Modern Geometry - Methods and Applications (Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields), Graduate Texts in Mathematics 93, Springer-Verlag (2ème édition - 1992), ISBN 0-387-97663-9. Une introduction très pédagogique à la géométrie, avec des applications à la physique, écrite par des spécialistes russes. L'approche étant plutôt intuitive, cet ouvrage est accessible à partir du premier cycle universitaire pour un bon étudiant motivé.

Marcel Berger et Bernard Gostiaux , Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] - Ouvrage issu d'un cours donné au Magistère de mathématiques.

(en) Michael Spivak, (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [détail des éditions] - Traité de référence en cinq volumes.

(en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions] - Comme l'indique son titre, le grand géomètre français nous convie ici à une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la géométrie Riemannienne. Les divers résultats sont pour la plupart donnés sans démonstrations détaillées, mais avec les références idoines pour le lecteur qui souhaiterais mettre « les mains dans le cambouis ». Le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.

Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine ; Riemannian Geometry [détail des éditions] - Devenu une référence incontournable de la géométrie riemannienne.

[modifier] Ouvrages pour physiciens théoriciens

Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.

Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.

Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.

Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2ème édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Portail de la physique – Accédez aux articles de Wikipédia concernant la physique.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../c/o/u/Courbure.html »

Catégories : Géométrie riemannienne • Relativité générale • Géométrie différentielle classique

Courbure

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

[modifier] Courbure d'un arc